Sobre a robustez e convergência dos métodos numéricos para resolver uma equação f(x)=0, é falso afirmar que:
Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada que um outro método com uma maior ordem de convergência.

Passo 1

Beleza! O enunciado pergunta sobre robustez e convergência de métodos numéricos para resolver . Ele diz que é falso afirmar:
“Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada do que outro método com maior ordem de convergência.”
Para resolver, vamos precisar entender:
  • O que é ordem de convergência de um método;
  • Como ela afeta o número de iterações;
  • O papel das constantes de erro e da região de convergência (robustez).

Passo 2

Primeiro, ordem de convergência. Se chamarmos
en = xn - x^*,
onde |en+1| approx C,|en|^p é a raiz exata, dizemos que o método converge com ordem se, perto de , existe constante tal que
Isso significa que, a cada iteração, o erro se reduz “às custas” de : quanto maior , teoricamente mais rápido cai o erro quando estamos bem pertinho da raiz.

Passo 3

Mas número de iterações até um critério de parada não depende só de ! Entram na conta:
• A constante : se ela for grande, mesmo com alto pode demorar mais para ficar abaixo de .
• A aproximação inicial : fora da região de convergência local o método de alta ordem pode nem convergir, ou demorar “ajeitar” perto da raiz.
• Overhead computacional: iteração de alta ordem geralmente faz mais operações (derivadas, avaliações extras), mas o critério é contagem de iterações brutas, não de custo.

Passo 4

Logo, não faz sentido afirmar categoricamente que “um método com ordem menor sempre leva mais iterações que um de ordem maior”. Essa afirmação ignora constantes e região de convergência, então é falsa: o comportamento em iterações pode variar conforme e , não apenas pelo .

Resposta

A afirmação “Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada que um outro método com maior ordem de convergência” é falsa.

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