Sobre a robustez e convergência dos métodos numéricos para resolver uma equação
, é falso afirmar que:
Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada que um outro método com uma maior ordem de convergência.
Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada que um outro método com uma maior ordem de convergência.
Passo 1
Beleza! O enunciado pergunta sobre robustez e convergência de métodos numéricos para resolver
. Ele diz que é falso afirmar:
“Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada do que outro método com maior ordem de convergência.”
Para resolver, vamos precisar entender:
“Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada do que outro método com maior ordem de convergência.”
Para resolver, vamos precisar entender:
- O que é ordem de convergência de um método;
- Como ela afeta o número de iterações;
- O papel das constantes de erro e da região de convergência (robustez).
Passo 2
Primeiro, ordem de convergência. Se chamarmos
onde
é a raiz exata, dizemos que o método converge com ordem
se, perto de
, existe constante
tal que
Isso significa que, a cada iteração, o erro se reduz “às custas” de
: quanto maior
, teoricamente mais rápido cai o erro quando estamos bem pertinho da raiz.
Passo 3
Mas número de iterações até um critério de parada
não depende só de
! Entram na conta:
• A constante : se ela for grande, mesmo com
alto pode demorar mais para ficar abaixo de
.
• A aproximação inicial : fora da região de convergência local o método de alta ordem pode nem convergir, ou demorar “ajeitar” perto da raiz.
• Overhead computacional: iteração de alta ordem geralmente faz mais operações (derivadas, avaliações extras), mas o critério é contagem de iterações brutas, não de custo.
• A constante
• A aproximação inicial
• Overhead computacional: iteração de alta ordem geralmente faz mais operações (derivadas, avaliações extras), mas o critério é contagem de iterações brutas, não de custo.
Passo 4
Logo, não faz sentido afirmar categoricamente que “um método com ordem menor sempre leva mais iterações que um de ordem maior”. Essa afirmação ignora constantes e região de convergência, então é falsa: o comportamento em iterações pode variar conforme
e
, não apenas pelo
.
Resposta
A afirmação “Um método pode levar mais iterações para atingir um critério de parada que um outro método com maior ordem de convergência” é falsa.