Seja f(x)=x^2 / 2+x(ln (x)-1). Considere o problema de obter os pontos críticos da função utilizando o método de Newton.
(b) utilize x0=0.9 e encontre uma aproximação fazendo apenas 2 iterações.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função
f(x)=x^22+xl(ln(x)-1r)
e queremos achar seus pontos críticos (onde xn+1 ;=; xn - f'(xn)f''(xn) ) usando o método de Newton.
Conteúdo: derivadas de funções e método de Newton para resolver .
O que vamos precisar:
  1. Calcular e .
  2. Aplicar a fórmula de Newton
  3. Fazer duas iterações partindo de .

Passo 2

  1. Calcular ddx[xln(x)] = 1cdotln(x)+xcdot1x = ln(x)+1 :
  • Derivada de f'(x) = x + (ln(x)+1) - 1 = x + ln(x) é f''(x) = ddxl[x + ln(x)r] = 1 + 1x .
  • Derivada de xn+1 = xn - f'(xn)f''(xn) usa regra do produto:
  • Derivada de é .
    Somando:
  1. Calcular :
  1. Fórmula de Newton para achar :

Passo 3

Primeira iteração ( f'(0.9) = 0.9 + ln(0.9)approx 0.9 -0.10536 = 0.79464, , f''(0.9)=1+10.9approx1+1.11111=2.11111 ):
  1. Calcular x1 = 0.9 - 0.794642.11111 approx 0.9 - 0.3763 = 0.5237 e :
  2. Aplicar Newton:

Passo 4

Segunda iteração ( f'(0.5237)=0.5237 + ln(0.5237)approx0.5237 -0.6474=-0.1237, , f''(0.5237)=1+10.5237approx1+1.9099=2.9099 ):
  1. Calcular x2 = 0.5237 - -0.12372.9099 approx 0.5237 + 0.0425 = 0.5662 e :
  2. Aplicar Newton:

Resposta

Após duas iterações do método de Newton com boxedx2 approx 0.5662 , obtemos a aproximação

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