Seja a função f(x)=e^-x+6 x e o intervalo I=[-4,-2].
(b) Mostre, sem a utilização de gráfico, que este zero de f(x) é único no intervalo.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos a função $ f(x) = e^{-x} + 6x $ e queremos mostrar que ela possui apenas um zero no intervalo $ I = [-4, -2] $. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra se a função está aumentando ou diminuindo em um determinado intervalo.
f(x)

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) $ no intervalo $ I = [-4, -2] $. Se a derivada for sempre negativa ou sempre positiva nesse intervalo, a função será estritamente decrescente ou crescente, respectivamente, o que nos ajuda a concluir sobre a unicidade do zero.

Passo 4

Vamos calcular $ f’(x) $ nos extremos do intervalo para verificar seu comportamento:
Para $ x = -4 $:
f'(x) (negativo)
Para $ x = -2 $:
x = -4 (negativo)

Passo 5

Observamos que $ f’(x) $ é negativo em ambos os extremos do intervalo $ I $. Além disso, como a derivada $ f’(x) $ não muda de sinal dentro desse intervalo (ela permanece negativa), podemos concluir que a função $ f(x) $ é estritamente decrescente no intervalo $ [-4, -2] $.

Passo 6

Uma função estritamente decrescente só pode cruzar o eixo das abscissas uma vez nesse intervalo, pois ela não aumenta novamente para cruzar o eixo outra vez. Isso garante que há no máximo um zero da função nesse intervalo.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) = e^{-x} + 6x $ possui um único zero no intervalo $ [-4, -2] $.

Exercícios relacionados