Seja a função f(x)=e^-x+6 x e o intervalo I=[-4,-2].
(a) Mostre, sem a utilização de gráfico, que existe pelo menos um zero de f(x) no intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = e^{-x} + 6x $ e um intervalo $ I = [-4, -2] $. A missão é mostrar, sem desenhar o gráfico, que essa função tem pelo menos um zero dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos usar um conceito chamado Teorema do Valor Intermediário, que basicamente nos ajuda a saber se a função cruza o eixo $ x $ em algum ponto do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função contínua. Uma função é contínua se não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. A função $ f(x) = e^{-x} + 6x $ é contínua em todo lugar porque é a soma de funções contínuas (a exponencial e a função linear).

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de $ f(x) $ nos extremos do intervalo, ou seja, em $ x = -4 $ e $ x = -2 $.
  • Para $ x = -4 $:
    f(x)
    Sabemos que $ e^{4} $ é aproximadamente 54,598. Então:
    x = -4
  • Para $ x = -2 $:
    x = -2
    Sabemos que $ e^{2} $ é aproximadamente 7,389. Então:
    x = -4

Passo 4

Agora, olhemos os sinais dos valores que encontramos:
  • $ f(-4) \approx 30,598 $ é positivo.
  • $ f(-2) \approx -4,611 $ é negativo.
Veja que há uma mudança de sinal no intervalo $ [-4, -2] $. A função passa de positiva para negativa quando $ x $ aumenta de -4 para -2.

Passo 5

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve passar por zero nesse intervalo. Como $ f(x) $ é contínua e mudou de positivo para negativo entre $ x = -4 $ e $ x = -2 $, existe pelo menos um ponto $ c $ em $ [-4, -2] $ onde $ f© = 0 $.

Resposta

Portanto, existe pelo menos um zero da função $ f(x) = e^{-x} + 6x $ no intervalo $ [-4, -2] $.

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