Seja f(x)=x^2 / 2+x(ln (x)-1). Considere o problema de obter os pontos críticos da função utilizando o método de Newton.
(a) escreva a fórmula de iteração do método de Newton para obter os pontos críticos de f(x);

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra usar o método de Newton pra achar os pontos críticos da função
f(x) = x^22 + xl(ln(x)-1r)
Matéria: derivadas e método de Newton para resolver equações.
O que vamos precisar:
  1. calcular xn+1 = xn - f'(xn)f''(xn) (pra achar os pontos críticos resolvendo );
  2. calcular (porque o método de Newton usa a derivada da função que estamos zerando, ou seja, a derivada de );
  3. montar a fórmula de iteração do Newton:

Passo 2

Vamos achar f'(x) = x + (ln(x)+1) - 1 = x + ln(x) . Lembra:
  • derivada de é ;
  • derivada de é ;
  • derivada de é .
    Então

Passo 3

Agora f''(x) = 1 + 1x , a derivada de :
  • derivada de é ;
  • derivada de é .
    Logo

Passo 4

Chegou a hora de montar o método de Newton pra achar raiz de xn+1 = xn - f'(xn)f''(xn) . A fórmula geral é
xn+1 = xn - xn + ln(xn)1 + tfrac1xn
Substituindo nossas derivadas:

Resposta

A iteração de Newton para encontrar os pontos críticos de boxed xn+1 ;=; xn ;-;xn + ln(xn)1 + 1xn, é

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