Seja
, escreva o domínio e a imagem de
, como uma união de intervalos
Passo 1
Então, o enunciado é: seja a função
a gente precisa encontrar o domínio (os
Conteúdo: funções racionais, domínio (zeros do denominador) e imagem (usando limites em assíntotas verticais, comportamento para
Passo 2
Domínio: a parte de baixo
não pode ser zero, então excluímos
e
.
Logo,
Logo,
Passo 3
Para achar a imagem, analisamos cada intervalo de domínio:
- Em
: - Quando
, o termo dominante em cima é e embaixo , então
- Quando, o denominador e o numerador em dá , logo .
Ambos os extremos vão a, mas é contínua em , então nesse pedaço ela sobe de até um valor máximo e volta a . Aí não atinge .
- Quando
Passo 4
- Em
: - Quando
, denom sinal negativo pequeno (pois muito pequeno e ), numerador , logo . - Quando
, numerador , denom sinal negativo pequeno, então .
Comoé contínua em e vai de a , pelo Teorema do Valor Intermediário ela atinge todos os valores reais nesse intervalo.
- Quando
Passo 5
- Em
: -
dá (numerador positivo, denom positivo pequeno). -
faz .
Nos dois extremos vai a, então em desce de até um mínimo e volta a , não atingindo .
-
Mas já vimos que em
assume tudo de
a
. Logo a imagem total de
é
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: