Seja f(x)=x^7+4(x-3)(x+2), escreva o domínio e a imagem de f(x), como uma união de intervalos

Passo 1

Então, o enunciado é: seja a função
f(x)=x^7+4(x-3)(x+2),,
a gente precisa encontrar o domínio (os que não pode) e a imagem (todos os valores que pode assumir), escrevendo cada um como união de intervalos.
Conteúdo: funções racionais, domínio (zeros do denominador) e imagem (usando limites em assíntotas verticais, comportamento para e Teorema do Valor Intermediário). Vamos precisar ver onde o denominador zera, calcular limites em assíntotas e entender que em cada pedaço contínuo atinge valores entre dois extremos de limite.

Passo 2

Domínio: a parte de baixo Dom(f)=(-infty,-2),cup,(-2,3),cup,(3,infty) não pode ser zero, então excluímos e .
Logo,

Passo 3

Para achar a imagem, analisamos cada intervalo de domínio:
  1. Em f(x)sim x^7x^2=x^5;longrightarrow;-,infty:
    • Quando , o termo dominante em cima é e embaixo , então
      - Quando , o denominador e o numerador em , logo .
      Ambos os extremos vão a , mas é contínua em , então nesse pedaço ela sobe de até um valor máximo e volta a . Aí não atinge .

Passo 4

  1. Em :
    • Quando , denom sinal negativo pequeno (pois muito pequeno e ), numerador , logo .
    • Quando , numerador , denom sinal negativo pequeno, então .
      Como é contínua em e vai de a , pelo Teorema do Valor Intermediário ela atinge todos os valores reais nesse intervalo.

Passo 5

  1. Em :
    • (numerador positivo, denom positivo pequeno).
    • faz .
      Nos dois extremos vai a , então em desce de até um mínimo e volta a , não atingindo .
Mas já vimos que em assume tudo de a . Logo a imagem total de é .

Resposta

Domínio:
Imagem:

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