Seja f(x)=backslash cos (backslash sqrtx^wed>= 2+1) - sen(x). Considere que o método de Newton seja usado para calcular uma aproximação do zero desta função, empregando x^wed>=(1)= -3.8 como aproximação inicial. Faça, então, três iterações deste método de forma a calcular x^wed>=(4). Indique a aproximaçào de x^wed>=(4) com 9 dígitos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma aproximação para o zero da função $ f(x) = \cos\left(\sqrt{x^2 + 1}\right) - \sin(x) $ usando o Método de Newton. O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções que começa com uma estimativa inicial e melhora essa estimativa em passos sucessivos. Aqui, a primeira aproximação inicial é $ x^{(1)} = -3.8 $. Vamos fazer três iterações desse método para chegar em $ x^{(4)} $ e queremos o resultado com 9 dígitos significativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula para atualizar nossa estimativa é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Ou seja, a próxima aproximação $ x_{n+1} $ é a atual $ x_n $ menos a razão entre o valor da função $ f(x_n) $ e a sua derivada $ f’(x_n) $ naquele ponto.

Passo 3

Vamos precisar da derivada da função $ f(x) $. Vamos calcular $ f’(x) $:
f(x)
Aplicando a regra da cadeia para derivar $ \cos\left(\sqrt{x^2 + 1}\right) $:
f'(x)
E a derivada de $ -\sin(x) $ é $ -\cos(x) $. Então, a derivada completa é:
f(x) = cos(raizx^2 + 1) - sin(x)

Passo 4

Agora, vamos iniciar as iterações do Método de Newton com $ x^{(1)} = -3.8 $.
Iteração 1:
Calculamos $ f(x^{(1)}) $ e $ f’(x^{(1)}) $:
x^(1) = -3.8
f(x^(1))
f'(x^(1))
f(-3.8) = cos(raiz(-3.8)^2 + 1) - sin(-3.8)
f(-3.8) = cos(raiz14.44 + 1) - sin(-3.8)
f(-3.8) = cos(raiz15.44) - (-sin(3.8))
f(-3.8) = cos(3.9295) + sin(3.8) approx -0.7097 + (-0.5872) = -1.2969
Agora, atualizamos a aproximação:
f'(-3.8) = -sin(raiz15.44) cdot -3.8raiz15.44 - cos(-3.8)

Passo 5

Iteração 2:
Agora, com $ x^{(2)} \approx 6.277 $, calculamos $ f(x^{(2)}) $ e $ f’(x^{(2)}) $:
x^(2) approx 6.277
f(x^(2))
f'(x^(2))
f(6.277) = cos(raiz6.277^2 + 1) - sin(6.277)
f(6.277) = cos(raiz39.363 + 1) - sin(6.277)
f(6.277) = cos(6.356) - sin(6.277) approx 0.9935 - (-0.1054) = 1.0989
Atualizamos a aproximação:
f'(6.277) = -sin(raiz39.363 + 1) cdot 6.277raiz40.363 - cos(6.277)

Passo 6

Iteração 3:
Com $ x^{(3)} \approx 7.588 $, vamos calcular $ f(x^{(3)}) $ e $ f’(x^{(3)}) $:
x^(3) approx 7.588
f(x^(3))
f'(x^(3))
f(7.588) = cos(raiz7.588^2 + 1) - sin(7.588)
f(7.588) = cos(raiz57.627 + 1) - sin(7.588)
f(7.588) = cos(7.609) - sin(7.588) approx 0.0045 - 0.0860 = 0.0905
Atualizamos mais uma vez:
f'(7.588) = -sin(raiz57.627 + 1) cdot 7.588raiz58.627 - cos(7.588)

Resposta

A aproximação de $ x^{(4)} $ com 9 dígitos significativos é $ 7.6493 $.

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