Seja
- sen(x). Considere que o método de Newton seja usado para calcular uma aproximação do zero desta função, empregando
-3.8 como aproximação inicial. Faça, então, três iterações deste método de forma a calcular
. Indique a aproximaçào de
com 9 dígitos significativos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma aproximação para o zero da função $ f(x) = \cos\left(\sqrt{x^2 + 1}\right) - \sin(x) $ usando o Método de Newton. O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de funções que começa com uma estimativa inicial e melhora essa estimativa em passos sucessivos. Aqui, a primeira aproximação inicial é $ x^{(1)} = -3.8 $. Vamos fazer três iterações desse método para chegar em $ x^{(4)} $ e queremos o resultado com 9 dígitos significativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método de Newton. A fórmula para atualizar nossa estimativa é:
Ou seja, a próxima aproximação $ x_{n+1} $ é a atual $ x_n $ menos a razão entre o valor da função $ f(x_n) $ e a sua derivada $ f’(x_n) $ naquele ponto.
Passo 3
Vamos precisar da derivada da função $ f(x) $. Vamos calcular $ f’(x) $:
Aplicando a regra da cadeia para derivar $ \cos\left(\sqrt{x^2 + 1}\right) $:
E a derivada de $ -\sin(x) $ é $ -\cos(x) $. Então, a derivada completa é:
Passo 4
Agora, vamos iniciar as iterações do Método de Newton com $ x^{(1)} = -3.8 $.
Iteração 1:
Calculamos $ f(x^{(1)}) $ e $ f’(x^{(1)}) $:
Agora, atualizamos a aproximação:
Passo 5
Iteração 2:
Agora, com $ x^{(2)} \approx 6.277 $, calculamos $ f(x^{(2)}) $ e $ f’(x^{(2)}) $:
Atualizamos a aproximação:
Passo 6
Iteração 3:
Com $ x^{(3)} \approx 7.588 $, vamos calcular $ f(x^{(3)}) $ e $ f’(x^{(3)}) $:
Atualizamos mais uma vez:
Resposta
A aproximação de $ x^{(4)} $ com 9 dígitos significativos é $ 7.6493 $.