Seja f(x)=\frac{1}{1-x}. Mostre que P(x)=1+x+x^{2} é o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de f em volta de x_{0}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{1-x} e pede para mostrar que P(x)=1+x+x^{2} é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x_{0}=0.
Informações relevantes:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{1-x}.
  • Ponto de expansão: x_{0}=0.
  • Ordem do polinômio: 2.
  • O que precisa ser mostrado: que os coeficientes de P(x) coincidem com os coeficientes dados pela fórmula de Taylor até o termo de grau 2 e que o resto tem a forma apropriada (ou é pequeno o suficiente para garantir que esse P é realmente o polinômio de Taylor de ordem 2).

Passo 2

Lembrando a definição prática de polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x_{0}=0 (Maclaurin): o polinômio é
P_{2}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2}.
Aqui cada termo usa as derivadas de f avaliadas em x_{0}=0. Vou calcular f(0), f'(0) e f''(0).

Passo 3

Calcular f(0).
f(0)=\frac{1}{1-0}=1.
Explicação: basta substituir x=0 na expressão de f.

Passo 4

Calcular f'(x) e, em seguida, f'(0).
Derivando f(x)= (1-x)^{-1} usando a regra do poder:
f'(x)= -1\cdot(1-x)^{-2}\cdot(-1)= (1-x)^{-2}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Agora avaliar em 0:
f'(0)=\frac{1}{(1-0)^{2}}=1.
Breve explicação: a derivada de (1-x)^{-1} é -1(1-x)^{-2} vezes a derivada de 1-x que é -1, daí o sinal positivo.

Passo 5

Calcular f''(x) e f''(0).
Derivando f'(x)=(1-x)^{-2}:
f''(x)= -2\,(1-x)^{-3}\cdot(-1)=2\,(1-x)^{-3}=\frac{2}{(1-x)^{3}}.
Avaliação em 0:
f''(0)=\frac{2}{(1-0)^{3}}=2.
Explicação: mesma ideia da regra do poder aplicada novamente.

Passo 6

Formar o polinômio de Taylor de ordem 2 usando os valores encontrados:
P_{2}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2} =1+1\cdot x+\frac{2}{2}\,x^{2}.
Simplificando:
P_{2}(x)=1+x+x^{2}.
Isso mostra que o polinômio proposto tem, de fato, os coeficientes corretos dados pelas derivadas de f em 0.

Passo 7

Para completar a justificativa que P(x)=1+x+x^{2} é o polinômio de Taylor de ordem 2, convém examinar o resto de Taylor na forma de Lagrange. A forma do resto é
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^{3}
para algum \xi entre 0 e x.
Calcular f^{(3)}(x). Observando o padrão das derivadas anteriores, ou derivando:
f^{(3)}(x)=\frac{6}{(1-x)^{4}}.
Logo
R_{2}(x)=\frac{6}{6}\,\frac{x^{3}}{(1-\xi)^{4}}=\frac{x^{3}}{(1-\xi)^{4}},
com \xi entre 0 e x.

Passo 8

Interpretar e estimar o resto (isso garante que a aproximação faz sentido, especialmente para |x|<1).
Se |x|<1 então |\xi|\le|x|<1 e portanto |1-\xi|\ge 1-| \xi|\ge 1-|x|. Dessa forma,
|R_{2}(x)| \le \frac{|x|^{3}}{(1-|x|)^{4}}.
Isso mostra que para x próximo de 0 (por exemplo |x|<\tfrac{1}{2} ou, mais genericamente, |x|<1) o resto é pequeno comparado a x^{2} e a série se comporta bem — em particular, o polinômio 1+x+x^{2} é a aproximação até ordem 2.

Passo 9

Conclusão encorajadora: calculamos explicitamente f(0), f'(0) e f''(0), montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 e verificamos a forma do resto. Portanto, P(x)=1+x+x^{2} é, de fato, o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x_{0}=0.

Resposta

1+x+x^{2}

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