Seja
. Mostre que
é o polinômio de Taylor, de ordem 2 , de
em volta de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
é o polinômio de Taylor de ordem
de
em volta de
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Ordem do polinômio:
. - O que precisa ser mostrado: que os coeficientes de
coincidem com os coeficientes dados pela fórmula de Taylor até o termo de grau e que o resto tem a forma apropriada (ou é pequeno o suficiente para garantir que esse é realmente o polinômio de Taylor de ordem ).
Passo 2
Lembrando a definição prática de polinômio de Taylor de ordem
em torno de
(Maclaurin): o polinômio é
Aqui cada termo usa as derivadas de
avaliadas em
. Vou calcular
,
e
.
Passo 3
Calcular
.
Explicação: basta substituir
na expressão de
.
Passo 4
Calcular
e, em seguida,
.
Derivando
usando a regra do poder:
Agora avaliar em
:
Breve explicação: a derivada de
é
vezes a derivada de
que é
, daí o sinal positivo.
Passo 5
Calcular
e
.
Derivando
:
Avaliação em
:
Explicação: mesma ideia da regra do poder aplicada novamente.
Passo 6
Formar o polinômio de Taylor de ordem
usando os valores encontrados:
Simplificando:
Isso mostra que o polinômio proposto tem, de fato, os coeficientes corretos dados pelas derivadas de
em
.
Passo 7
Para completar a justificativa que
é o polinômio de Taylor de ordem
, convém examinar o resto de Taylor na forma de Lagrange. A forma do resto é
para algum
entre
e
.
Calcular
. Observando o padrão das derivadas anteriores, ou derivando:
Logo
com
entre
e
.
Passo 8
Interpretar e estimar o resto (isso garante que a aproximação faz sentido, especialmente para
).
Se
então
e portanto
. Dessa forma,
Isso mostra que para
próximo de
(por exemplo
ou, mais genericamente,
) o resto é pequeno comparado a
e a série se comporta bem — em particular, o polinômio
é a aproximação até ordem
.
Passo 9
Conclusão encorajadora: calculamos explicitamente
,
e
, montamos o polinômio de Taylor de ordem
e verificamos a forma do resto. Portanto,
é, de fato, o polinômio de Taylor de ordem
de
em torno de
.