Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede: aproximar
usando polinômio de Taylor de ordem 2 e estimar o erro dessa aproximação. - Informação útil que podemos usar:
, que está perto de . Isso sugere trabalhar com a função perto de . - O ponto a aproximar é
. Definimos .
Passo 2
Recordando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 (expansão de
em torno de
):
com resto na forma de Lagrange
para algum
entre
e
. Aqui
e
. Vou calcular
,
,
e também
para estimar o resto.
Passo 3
Definindo
. Calculamos as derivadas:
Explico rapidinho o porquê: derivando
dá
; aplicando isso repetidamente obtém-se as fórmulas acima.
Passo 4
Avalio as derivadas no ponto
. Observações úteis:
Como
, podemos obter potências negativas fáceis:
Logo
Para
:
logo
Passo 5
Calculo o deslocamento
e os termos do polinômio:
Termo linear:
Termo quadrático:
Calculo com frações:
, então
. Assim
Passo 6
Somando os termos do polinômio de Taylor de ordem 2:
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando para uma precisão razoável, obtemos
Passo 7
Estimativa do erro (resto
). Pela fórmula do resto de Lagrange:
para algum
entre
e
. Como
e essa função é decrescente para
(exponente negativo), o máximo de
no intervalo ocorre em
. Assim um limite superior para o módulo do erro é
Avaliação numérica aproximada:
(usando
), então
Logo
Portanto o erro absoluto da aproximação pelo polinômio de ordem 2 é menor que aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação final e ânimo: a aproximação por Taylor de ordem 2 em torno de
(escolhida porque a raiz cúbica é
exatamente) deu um valor muito próximo ao real, com erro garantido da ordem de
. Está ótimo para uso em prova sem calculadora — mostre os passos com as derivadas e a estimativa do resto.