Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.
\sqrt[3]{3,9}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede: aproximar \sqrt[3]{3,9} usando polinômio de Taylor de ordem 2 e estimar o erro dessa aproximação.
  • Informação útil que podemos usar: 1{,}6^{3}=4{,}096, que está perto de 3{,}9. Isso sugere trabalhar com a função f(x)=x^{1/3} perto de x_{0}=4{,}096.
  • O ponto a aproximar é x=3{,}9. Definimos h=x-x_{0}=3{,}9-4{,}096=-0{,}196.

Passo 2

Recordando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 (expansão de f em torno de x_{0}):
f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{1}{2}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2},
com resto na forma de Lagrange
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}(x-x_{0})^{3}
para algum \xi entre x e x_{0}. Aqui x=3{,}9 e x_{0}=4{,}096. Vou calcular f(x_{0}), f'(x_{0}), f''(x_{0}) e também f^{(3)} para estimar o resto.

Passo 3

Definindo f(x)=x^{1/3}. Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}, \qquad f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}, \qquad f^{(3)}(x)=\frac{10}{27}x^{-8/3}.
Explico rapidinho o porquê: derivando x^{\alpha} \alpha x^{\alpha-1}; aplicando isso repetidamente obtém-se as fórmulas acima.

Passo 4

Avalio as derivadas no ponto x_{0}=4{,}096=(1{,}6)^{3}. Observações úteis:
f(x_{0})=(4{,}096)^{1/3}=1{,}6.
Como x_{0}^{1/3}=1{,}6, podemos obter potências negativas fáceis:
x_{0}^{-2/3}=(x_{0}^{1/3})^{-2}=1{,}6^{-2}=\frac{1}{1{,}6^{2}}=\frac{1}{2{,}56}=\frac{25}{64}=0{,}390625.
Logo
f'(x_{0})=\frac{1}{3}x_{0}^{-2/3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{25}{64}=\frac{25}{192}\approx0{,}1302083333.
Para f''(x_{0}):
x_{0}^{-5/3}=(x_{0}^{1/3})^{-5}=1{,}6^{-5}=\left(\frac{5}{8}\right)^{5}=\frac{3125}{32768}\approx0{,}095367431640625,
logo
f''(x_{0})=-\frac{2}{9}x_{0}^{-5/3}=-\frac{2}{9}\cdot\frac{3125}{32768}=-\frac{3125}{147456}\approx-0{,}0211927625868.

Passo 5

Calculo o deslocamento h e os termos do polinômio:
h=3{,}9-4{,}096=-0{,}196.
Termo linear:
f'(x_{0})\,h=\frac{25}{192}\cdot(-0{,}196)=-\frac{49}{1920}\approx-0{,}0255208333333.
Termo quadrático:
\frac{1}{2}f''(x_{0})\,h^{2}=\frac{1}{2}\left(-\frac{3125}{147456}\right)\left(0{,}196^{2}\right).
Calculo com frações: h=-\dfrac{49}{250}, então h^{2}=\dfrac{2401}{62500}. Assim
\frac{1}{2}f''(x_{0})\,h^{2}=-\frac{3125}{294912}\cdot\frac{2401}{62500}=-\frac{7\,503\,125}{18\,432\,000\,000}\approx-0{,}00040709.

Passo 6

Somando os termos do polinômio de Taylor de ordem 2:
f(3{,}9)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})h+\frac{1}{2}f''(x_{0})h^{2}.
Substituindo os valores numéricos:
f(3{,}9)\approx 1{,}6 - 0{,}0255208333333 - 0{,}000407092\approx 1{,}5740720747.
Arredondando para uma precisão razoável, obtemos
\sqrt[3]{3,9}\approx 1{,}574072.

Passo 7

Estimativa do erro (resto R_{2}). Pela fórmula do resto de Lagrange:
R_{2}=\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}h^{3}
para algum \xi entre 3{,}9 e 4{,}096. Como f^{(3)}(x)=\dfrac{10}{27}x^{-8/3} e essa função é decrescente para x>0 (exponente negativo), o máximo de |f^{(3)}(x)| no intervalo ocorre em x=3{,}9. Assim um limite superior para o módulo do erro é
|R_{2}|\le \frac{f^{(3)}(3{,}9)}{6}|h|^{3}=\frac{1}{6}\cdot\frac{10}{27}\,3{,}9^{-8/3}\cdot(0{,}196)^{3}.
Avaliação numérica aproximada: 3{,}9^{-8/3}\approx 0{,}02655 (usando 3{,}9^{1/3}\approx1{,}57407), então
f^{(3)}(3{,}9)\approx\frac{10}{27}\cdot0{,}02655\approx0{,}00983.
Logo
|R_{2}|\le\frac{0{,}00983}{6}\cdot0{,}196^{3}\approx1{,}23\times10^{-5}.
Portanto o erro absoluto da aproximação pelo polinômio de ordem 2 é menor que aproximadamente 1{,}3\times10^{-5}.

Passo 8

Interpretação final e ânimo: a aproximação por Taylor de ordem 2 em torno de x_{0}=4{,}096 (escolhida porque a raiz cúbica é 1{,}6 exatamente) deu um valor muito próximo ao real, com erro garantido da ordem de 10^{-5}. Está ótimo para uso em prova sem calculadora — mostre os passos com as derivadas e a estimativa do resto.

Resposta

\sqrt[3]{3,9}\approx 1{,}574072
|\text{erro}|\le 1{,}3\times10^{-5}

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