Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.
\sqrt{8,2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre \sqrt{8,2}:
  • calcular um valor aproximado usando o polinômio de Taylor de ordem 2;
  • avaliar (estimar) o erro dessa aproximação.
A única informação numérica dada é 8,2. Vou usar isso para construir a aproximação e estimar o resto de Taylor.

Passo 2

Escolha do ponto de expansão e fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2.
É conveniente expandir f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} em torno de um ponto a próximo a 8,2 cujo valor e derivadas sejam simples. Vou escolher a=8 porque 8 tem raiz simples \sqrt{8}=2\sqrt{2} e 8,2 está bem próximo ( 0,2 de distância).
A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a é:
P_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2.
O resto na forma de Lagrange é
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-a)^3
para algum \xi entre a e x. Usarei essa expressão para obter uma cota do erro absoluto.

Passo 3

Derivadas de f(x)=x^{1/2} (vamos precisar até a terceira derivada para estimar o resto):
f(x)=x^{1/2}, \qquad f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}, \qquad f''(x)=-\tfrac{1}{4}x^{-3/2}, \qquad f^{(3)}(x)=\tfrac{3}{8}x^{-5/2}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto a=8 de forma exata (com raízes) e também em forma decimal quando necessário:
f(8)=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
f'(8)=\tfrac{1}{2}\,8^{-1/2}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{8}}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}=\tfrac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8},
f''(8)=-\tfrac{1}{4}\,8^{-3/2}=-\frac{1}{4\cdot 8^{3/2}}=-\frac{1}{64\sqrt{2}},
f^{(3)}(8)=\tfrac{3}{8}\,8^{-5/2}=\frac{3}{8\cdot 8^{5/2}}=\frac{3}{1024\sqrt{2}}.
Para cálculo numérico intermediário (usar depois):
\sqrt{2}\approx 1,41421356,
portanto
f(8)=2\sqrt{2}\approx 2,8284271247461903,
f'(8)=\frac{\sqrt{2}}{8}\approx 0,1767766952966369,
f''(8)=-\frac{1}{64\sqrt{2}}\approx -0,0110453610147898,
f^{(3)}(8)=\frac{3}{1024\sqrt{2}}\approx 0,0020722656571734.

Passo 5

Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 em x=8,2. Defina h=x-a=8,2-8=0,2. Substituindo em P_2:
P_2(8,2)=f(8)+f'(8)\,h+\frac{f''(8)}{2}\,h^2.
Agora substituir os valores numéricos:
Calcule f'(8)\,h:
f'(8)\,h\approx 0,1767766952966369\cdot 0,2=0,0353553390593274.
Calcule \dfrac{f''(8)}{2}\,h^2:
h^2=(0,2)^2=0,04,
\frac{f''(8)}{2}\,h^2\approx \frac{-0,0110453610147898}{2}\cdot 0,04 = -0,000220907222295796.
Somando tudo:
P_2(8,2)\approx 2,8284271247461903+0,0353553390593274-0,0002209072222958 \approx 2,8635615565832219.
Arredondando de forma razoável (por exemplo 10 casas significativas), a aproximação é
\sqrt{8,2}\approx 2,8635615566.

Passo 6

Estimar o erro (cota do resto). Usamos a forma de Lagrange
R_2(8,2)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}h^3
para algum \xi\in[8,8,2]. Como f^{(3)}(x)=\tfrac{3}{8}x^{-5/2} e x^{-5/2} é decrescente em x>0, em [8,8,2] o máximo de |f^{(3)}(x)| ocorre em x=8. Logo
|R_2(8,2)|\le \frac{f^{(3)}(8)}{3!}|h|^3 =\frac{\tfrac{3}{1024\sqrt{2}}}{6}\,(0,2)^3.
Calcule numericamente:
(0,2)^3=0,008,
\frac{3}{1024\sqrt{2}}\approx 0,0020722656571734,
\frac{0,0020722656571734}{6}\cdot 0,008 \approx 2,763020876\times 10^{-6}.
Portanto a cota do erro é
|R_2(8,2)|\le 2,763\times 10^{-6}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Verificação rápida com o valor verdadeiro (para ver se a cota é válida): o valor exato (calculado por raiz quadrada direta) é
\sqrt{8,2}\approx 2,863564212655\ldots
Comparando com a aproximação 2,863561556583\ldots obtemos o erro real
\text{erro real}\approx 2,656\times 10^{-6},
que satisfaz a cota 2,656\times 10^{-6}\le 2,763\times 10^{-6} obtida acima.

Resposta

\sqrt{8,2}\approx 2,8635615566
|\text{erro}|\le 2,763\times 10^{-6}

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