Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre
:
- calcular um valor aproximado usando o polinômio de Taylor de ordem 2;
- avaliar (estimar) o erro dessa aproximação.
A única informação numérica dada é
. Vou usar isso para construir a aproximação e estimar o resto de Taylor.
Passo 2
Escolha do ponto de expansão e fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2.
É conveniente expandir em torno de um ponto
próximo a
cujo valor e derivadas sejam simples. Vou escolher
porque
tem raiz simples
e
está bem próximo (
de distância).
É conveniente expandir
A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
é:
O resto na forma de Lagrange é
para algum
entre
e
. Usarei essa expressão para obter uma cota do erro absoluto.
Passo 3
Derivadas de
(vamos precisar até a terceira derivada para estimar o resto):
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
de forma exata (com raízes) e também em forma decimal quando necessário:
Para cálculo numérico intermediário (usar depois):
portanto
Passo 5
Calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 em
. Defina
. Substituindo em
:
Agora substituir os valores numéricos:
Calcule
:
Calcule
:
Somando tudo:
Arredondando de forma razoável (por exemplo 10 casas significativas), a aproximação é
Passo 6
Estimar o erro (cota do resto). Usamos a forma de Lagrange
para algum
. Como
e
é decrescente em
, em
o máximo de
ocorre em
. Logo
Calcule numericamente:
Portanto a cota do erro é
Passo 7
Verificação rápida com o valor verdadeiro (para ver se a cota é válida): o valor exato (calculado por raiz quadrada direta) é
Comparando com a aproximação
obtemos o erro real
que satisfaz a cota
obtida acima.