1. Seja f(x)=x^2-6. Com p0=3 e p1=2, determine p3.
    a. Utilize o método da Secante.
    b. Utilize o método da Falsa Posição.
    c. Qual é o resultado mais próximo de raiz6, (a) ou (b)?

Passo 1

O enunciado diz: “Dada a função
f(x)=x^2-6
com aproximações iniciais e , encontre
a) pelo método da Secante;
b) pelo método da Falsa Posição;
c) diga qual dessas duas aproximações está mais próxima de .
Conteúdo: métodos iterativos para achar raízes de funções (secante e falsa posição).
Vamos precisar de:
  • saber avaliar ,
  • usar a fórmula do método da Secante
    ,
  • usar a fórmula da Falsa Posição
    mantendo o intervalo em que a raiz reside.

Passo 2

Método da Secante
  1. Primeiro, calculemos p2 = p1 - f(p1),(p1-p0)f(p1)-f(p0) =2 - (-2),(2-3)-2-3 =2 - (-2),(-1)-5 =2 - 2-5 =2 + 0.4 =2.4 e p3 = p2 - f(p2),(p2-p1)f(p2)-f(p1) =2.4 - (-0.24),(2.4-2)-0.24-(-2) =2.4 - -0.24cdot0.41.76 =2.4 + 0.0961.76 =2.4 + 0.054545ldots approx2.454545 :
    ,
    .
  2. Encontrar usando
  1. Agora .
    Use de novo a fórmula para :

Passo 3

Método da Falsa Posição
  1. Como p2 = b-f(b),(b-a)f(b)-f(a) =3-3,(3-2)3-(-2) =3-35 =3-0.6 =2.4 e p3 = 3 - f(3),(3-2.4)f(3)-f(2.4) =3 - 3cdot0.63-(-0.24) =3 - 1.83.24 =3 - 0.555555ldots approx2.444444 , mantemos o intervalo .
    A fórmula dá
Vimos que , então a nova faixa é .
  1. Calcule em :

Passo 4

Agora compare com :
  • Secante: .
  • Falsa Posição: .
A aproximação pelo método da Falsa Posição é ligeiramente mais próxima de .

Resposta

a) pelo método da Secante .
b) pelo método da Falsa Posição .
c) A falsa posição (letra b) ficou mais próxima de .

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