Sejam e em , com e . Mostre que existe um tal que se , então, . Desse modo, independentemente de quão próxima a aproximação inicial esteja de , a próxima iteração estará mais afastada, de modo que a iteração de ponto fixo não convergirá, caso .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função de classe (ou seja, derivável com derivada contínua) num intervalo , um ponto fixo tal que
A tarefa é mostrar que existe um raio em torno de tal que, se a aproximação inicial estiver dentro desse raio (porém diferente de ), a próxima iteração
ficará mais longe de do que . Em outras palavras, a sequência não converge se .
Para resolver, vamos usar:
Continuidade de (definição e escolha de ).
Teorema do Valor Médio (para escrever ).
Estimar a desigualdade final .
Passo 2
Como varepsilon = lvert g'(p)rvert - 12 > 0 definimos lvert x - prvert < de
Pela continuidade de llvert g'(x) - g'(p)rrvert < varepsilon em lvert g'(x)rvert >= lvert g'(p)rvert - varepsilon = lvert g'(p)rvert - lvert g'(p)rvert - 12 = lvert g'(p)rvert + 12 =: M>1 , existe tal que, sempre que
a gente tenha
Isso implica
[
\lvert g’(x)\rvert
\ge
\lvert g’§\rvert - \varepsilon
\lvert g’§\rvert - \frac{\lvert g’§\rvert - 1}{2}
\frac{\lvert g’§\rvert + 1}{2}
=: M>1.
]
Passo 3
Agora pega g(p0) - g(p) = g'(xi),(p0 - p) com p1 - p = g(p0) - g(p) = g'(xi),(p0 - p) . Pelo Teorema do Valor Médio, existe lvert p1 - prvert = llvert g'(xi)rrvert;lvert p0 - prvert > M,lvert p0 - prvert > lvert p0 - prvert entre e tal que
[
g(p_0) - g§
g’(\xi),(p_0 - p).
]
Como , isso é
[
p_1 - p
g(p_0) - g§
g’(\xi),(p_0 - p).
]
Tomando valor absoluto e usando o fato de , a gente obtém
Resposta
Portanto, escolhendo lvert p1 - prvert > lvert p0 - prvert, conforme acima, sempre que teremos
ou seja, a iteração de ponto-fixo se afasta em vez de convergir, desde que .