Seja f(x, y)=e^x-y+2. Verificar se nabla f(0,2) é perpendicular á curva de nível no ponto (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a função
f(x,y)=e^x - y + 2
e pede para verificar se o gradiente é perpendicular à curva de nível que passa por .
Conteúdo: gradiente e curvas de nível (níveis implícitos).
O que vamos precisar:
  • Calcular o gradiente .
  • Entender que a curva de nível é dada por .
  • Mostrar que o vetor gradiente é ortogonal ao vetor tangente da curva de nível naquele ponto (fazendo produto escalar zero).

Passo 2

Primeiro, calcula o gradiente de nabla f(x,y) = l(fx(x,y),,fy(x,y)r) . Lembra que
onde é a derivada parcial em relação a e em relação a .

Passo 3

Agora avalia em nabla f(0,2) = l(e^0,,-1r) = (1,,-1) :
Beleza, o gradiente ali é o vetor .

Passo 4

Para ver perpendicularidade, vamos achar um vetor tangente à curva de nível em f(x,y)=constante Longrightarrow e^x - y + 2 = C .
A curva de nível satisfaz
ddxl(e^x - y + 2r) = 0 ;;Longrightarrow;; e^x - y'(x) = 0 ;;Longrightarrow;; y'(x) = e^x
Podemos pensar em y'(0) = e^0 = 1 como função de (derivada implícita):
No ponto :
Logo, um vetor tangente ali é .

Passo 5

Se o gradiente é perpendicular à curva de nível, seu produto escalar com o vetor tangente deve ser zero:
(1,-1)cdot(1,1)=1cdot1 + (-1)cdot1 = 1-1 = 0
Deu zero, ou seja, são ortogonais.

Resposta

Sim, é perpendicular à curva de nível de que passa por .

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