Seja
. Verificar se
é perpendicular á curva de nível no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a função
e pede para verificar se o gradiente
é perpendicular à curva de nível que passa por
.
Conteúdo: gradiente e curvas de nível (níveis implícitos).
O que vamos precisar:
Conteúdo: gradiente e curvas de nível (níveis implícitos).
O que vamos precisar:
- Calcular o gradiente
. - Entender que a curva de nível é dada por
. - Mostrar que o vetor gradiente é ortogonal ao vetor tangente da curva de nível naquele ponto (fazendo produto escalar zero).
Passo 2
Primeiro, calcula o gradiente de
. Lembra que
onde
é a derivada parcial em relação a
e
em relação a
.
Passo 3
Agora avalia em
:
Beleza, o gradiente ali é o vetor
.
Passo 4
Para ver perpendicularidade, vamos achar um vetor tangente à curva de nível em
.
A curva de nível satisfaz
A curva de nível satisfaz
Podemos pensar em
como função de
(derivada implícita):
No ponto
:
Logo, um vetor tangente ali é
.
Passo 5
Se o gradiente é perpendicular à curva de nível, seu produto escalar com o vetor tangente deve ser zero:
Deu zero, ou seja, são ortogonais.
Resposta
Sim,
é perpendicular à curva de nível de
que passa por
.