e pergunta em que conjunto ela é contínua. O tema aqui é “continuidade de função de duas variáveis” e vamos precisar de:
saber que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não zera;
definir continuidade no ponto (0,0) via limite e mostrar que o limite vale 0.
Passo 2
Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0) o denominador x^2+y^2 é diferente de zero, então
h(x,y)=2x^5x^2+y^2
é quociente de funções polinomiais sem divisão por zero. Logo, por teoria básica de funções de várias variáveis, h é contínua em todo ponto fora da origem.
Passo 3
Agora falta verificar continuidade em (0,0). A função será contínua aí se
lim(x,y)to(0,0)h(x,y)=h(0,0)=0
Calculamos o limite usando uma desigualdade esperta:
|h(x,y)|=|2x^5x^2+y^2| =2|x|^5x^2+y^2
Como x^2+y^2>= x^2, temos
|h(x,y)|<=2|x|^5x^2 = 2|x|^3
E quando (x,y)to(0,0), certamente |x|to0, então 2|x|^3to0. Pelo Teorema do Confronto, isso garante