Seja h(x, y)=cl2 x^5x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0).
Em que conjunto h é contínua?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função
h(x,y)= dfrac2x^5x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pergunta em que conjunto ela é contínua. O tema aqui é “continuidade de função de duas variáveis” e vamos precisar de:
  1. saber que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não zera;
  2. definir continuidade no ponto (0,0) via limite e mostrar que o limite vale 0.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0) o denominador x^2+y^2 é diferente de zero, então
h(x,y)=2x^5x^2+y^2
é quociente de funções polinomiais sem divisão por zero. Logo, por teoria básica de funções de várias variáveis, h é contínua em todo ponto fora da origem.

Passo 3

Agora falta verificar continuidade em (0,0). A função será contínua aí se
lim(x,y)to(0,0)h(x,y)=h(0,0)=0
Calculamos o limite usando uma desigualdade esperta:
|h(x,y)|=|2x^5x^2+y^2| =2|x|^5x^2+y^2
Como x^2+y^2>= x^2, temos
|h(x,y)|<=2|x|^5x^2 = 2|x|^3
E quando (x,y)to(0,0), certamente |x|to0, então 2|x|^3to0. Pelo Teorema do Confronto, isso garante
lim(x,y)to(0,0)h(x,y)=0,
ou seja, h é contínua em (0,0) também.

Resposta

A função é contínua em todo .

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