Seja z=f(x, y), x=rho cos theta, y=rho sen theta. Mostre que,
(partial zpartial x)^2+(partial zpartial y)^2=(partial zpartial rho)^2+1rho^2(partial zpartial theta)^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, se a gente define

e x = rhocostheta, y = rhosentheta, então vale a identidade
z = f(x,y)
Conteúdo: derivadas parciais e regra da cadeia em coordenadas polares. Vamos precisar das derivadas de (partialx z)^2 + (partialy z)^2 ;=; (partialrho z)^2 + 1rho^2(partialtheta z)^2, em relação a x,y e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, usamos a regra da cadeia para partialrho z:
partialrho z ;=;partialx z;partial xpartialrho ;+;partialy z;partial ypartialrho
Como x=rhocostheta e , temos
Logo

Passo 3

Agora a mesma ideia para partialtheta z:
partialtheta z ;=;partialx z;partial xpartialtheta ;+;partialy z;partial ypartialtheta
Mas
Fica então

Passo 4

Vamos montar o lado direito da identidade:
(partialrho z)^2 + 1rho^2(partialtheta z)^2
Substituindo:

  1. Somando 1) e 2) dá
As parcelas cruzadas cancelam e .

Resposta

Mostramos que
(partialx z)^2 + (partialy z)^2 = (partialrho z)^2 + 1rho^2(partialtheta z)^2,
como era para provar.

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