Verifique se
senh
é solução da equação diferencial parcial de Laplace
.
Obs:
e
são o seno e o cosseno hiperbólicos, respectivamente.
Obs:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se
satisfaz a equação de Laplace
Isso é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. A matéria aqui é Equações Diferenciais Parciais (PDE), mais especificamente a equação de Laplace.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Saber derivar funções trigonométricas (,
). - Saber derivar funções hiperbólicas (
, ). - Calcular
, , , e somar . Se der zero, tudo certo.
Passo 2
Vamos primeiro achar
e depois
.
- Derivada em relação a
de : -
é constante em , então deriva só . - .
Logo
-
- Derivada em relação a
de : - é constante em
, - .
Logo
- é constante em
Somando, fica
Agora
: derivamos
outra vez em
.
- Para
, é constante, : - Para , é constante, :
Logo
Passo 3
Agora calculamos
e
.
-
de : - é constante em
, - .
- é constante em
-
de : -
é constante em , - .
-
Somando,
Agora
: derivamos
em
.
- Para , é constante, :
- Para
, é constante, :
Logo
Passo 4
Bora somar
:
Cada termo cancela exatamente com o oposto:
Logo
Resposta
Sim! A função
é solução da equação de Laplace
.