Verifique se u=sen x cosh y+cos x senh y é solução da equação diferencial parcial de Laplace ux x+uy y=0.
Obs: senh() e cosh () são o seno e o cosseno hiperbólicos, respectivamente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente verificar se
satisfaz a equação de Laplace
u(x,y)=sen x;cosh y;+;cos x;senh y
Isso é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. A matéria aqui é Equações Diferenciais Parciais (PDE), mais especificamente a equação de Laplace.
O que a gente vai precisar:
  • Saber derivar funções trigonométricas (, uxx+uyy=0).
  • Saber derivar funções hiperbólicas ( , ).
  • Calcular , , , e somar . Se der zero, tudo certo.

Passo 2

Vamos primeiro achar pp xl(sen xcosh yr)=cos x;cosh y e depois pp xl(cos xsenh yr)=-sen x;senh y.
  1. Derivada em relação a ux = cos x,cosh y ;-;sen x,senh y de :
    • pp x(cos x,cosh y)=-sen x,cosh y é constante em pp x(-sen x,senh y)=-cos x,senh y, então deriva só .
    • .
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  2. Derivada em relação a uxx = -sen x,cosh y ;-;cos x,senh y de :
    • é constante em ,
    • .
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Somando, fica
Agora : derivamos outra vez em .
  • Para , é constante, :
  • Para , é constante, :
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Passo 3

Agora calculamos pp y(sen xcosh y)=sen x,senh y e pp y(cos xsenh y)=cos x,cosh y.
  1. uy = sen x,senh y ;+;cos x,cosh y de :
    • é constante em pp y(sen x,senh y)=sen x,cosh y,
    • .
  2. pp y(cos x,cosh y)=cos x,senh y de :
    • uyy = sen x,cosh y ;+;cos x,senh y é constante em ,
    • .
Somando,
Agora : derivamos em .
  • Para , é constante, :
  • Para , é constante, :
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Passo 4

Bora somar uxx + uyy = l(-sen x,cosh y - cos x,senh yr) + l(sen x,cosh y + cos x,senh yr) :
Cada termo cancela exatamente com o oposto:
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-sen x,cosh y + sen x,cosh y = 0, -cos x,senh y + cos x,senh y = 0

Resposta

Sim! A função
é solução da equação de Laplace u(x,y)=sen xcosh y+cos xsenh y .

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