Seja f0, f1, ldots uma sequência de números para a qual
De
Prove que existe um polinômio q(x) de grau n para o qual q(k)=fk para todo k=0,1, ldots.

Passo 1

Estamos com uma sequência f0,f1,dots em que a diferença avançada de ordem n+1 satisfaz De para todo i. O que isso diz é que, a partir da (n+1)-ésima diferença, a sequência “estabiliza” e não muda mais. O objetivo é mostrar que existe um polinômio de grau n que reproduz exatamente esses valores em k=0,1,2,dots. Para isso vamos usar a fórmula de interpolação de Newton por diferenças finitas.

Passo 2

A ideia clássica é escrever um polinômio no que chamamos de forma de Newton: q(x)=sumi=0^n aibinomxi, onde escolhemos os coeficientes ai de modo que q(k)=fk para todos os k. No nosso caso, basta tomar
ai=De
(são as diferenças de ordem i avaliadas em 0). Assim definimos
q(x)=sumi=0^n De

Passo 3

Para ver o grau de q, note que cada binomxi é um polinômio em x de grau i. Logo o maior grau que aparece é quando i=n, e portanto
deg q = n

Passo 4

Agora precisamos garantir que q(k)=fk para todo kinN. Primeiro a base da indução: em k=0 temos
q(0)=DeSuponha agora que q(k)=fk para um dado k. Vamos comparar a diferença:
q(k+1)-q(k)=sumi=0^n DeUsando a identidade binomk+1i-binomki=binomki-1 para i>=1, isso vira
q(k+1)-q(k)=sumi=1^n DeMas essa soma é exatamente o polinômio de Newton para a sequência De, de ordem n-1, avaliado em k. Como De, sua n-ésima diferença também some, então ficamos com
q(k+1)-q(k)=De

Passo 5

Da igualdade q(k+1)-q(k)=fk+1-fk e da hipótese de indução q(k)=fk segue imediatamente que
q(k+1)=fk+1 Assim, por indução em k, concluímos que q(k)=fk para todo k=0,1,2,dots. Isso encerra a prova de que existe um polinômio de grau n interpolando a sequência.

Passo 6

Resposta

O polinômio de Newton
q(x)=sumi=0^n De
é de grau n e satisfaz q(k)=fk para todo k=0,1,2,dots.

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