Seja
uma sequência de números para a qual
Prove que existe um polinômio
de grau
para o qual
para todo
.
Passo 1
Estamos com uma sequência
em que a diferença avançada de ordem
satisfaz
para todo
. O que isso diz é que, a partir da
-ésima diferença, a sequência “estabiliza” e não muda mais. O objetivo é mostrar que existe um polinômio de grau
que reproduz exatamente esses valores em
. Para isso vamos usar a fórmula de interpolação de Newton por diferenças finitas.
Passo 2
A ideia clássica é escrever um polinômio no que chamamos de forma de Newton:
onde escolhemos os coeficientes
de modo que
para todos os
. No nosso caso, basta tomar
(são as diferenças de ordem
avaliadas em 0). Assim definimos
Passo 3
Para ver o grau de
, note que cada
é um polinômio em
de grau
. Logo o maior grau que aparece é quando
, e portanto
Passo 4
Agora precisamos garantir que
para todo
. Primeiro a base da indução: em
temos
Passo 5
Da igualdade
e da hipótese de indução
segue imediatamente que
Passo 6
Resposta
O polinômio de Newton
é de grau
e satisfaz
para todo
.