Sejam f0, f1, ldots, fn+1 números dados que satisfazem as condições
f0=fn+1=0 e |De
Prove que
|fk| <= k(n+1-k)2

Passo 1

O enunciado pede para uma sequência f0,f1,dots,fn+1 com f0=fn+1=0 e |De para i=1,dots,n, onde De. Queremos mostrar que para todo 1<= k<= n vale |fk|<=tfrack(n+1-k)2. Vamos usar o método de resolução de equações de diferenças com condições de contorno.

Passo 2

Para resolver, construímos a “função de Green” discreta para o operador De com contorno nulo. Ou seja, procuramos uma matriz G(i,j) tal que, se gj=De, então
fi=sumj=1^n G(i,j),gj,
com as condições f0=fn+1=0. É conhecido (ou pode ser verificado por indução) que
G(i,j)= dfraci,(n+1-j)n+1,&se i<= j,[6pt] dfracj,(n+1-i)n+1,&se i>= j

Passo 3

Como temos |gj|=|De, basta estimar
|fk|=l|sumj=1^n G(k,j),gjr|<=sumj=1^n G(k,j)

Passo 4

Agora dividimos a soma em dois blocos: para j<= k temos G(k,j)=tfracj(n+1-k)n+1, e para j>k temos G(k,j)=tfrack(n+1-j)n+1. Então
sumj=1^n G(k,j)=1n+1l[(n+1-k)sumj=1^k j;+ ksumj=k+1^n(n+1-j)r]

Passo 5

Calculando cada soma: sumj=1^k j=tfrack(k+1)2 e sumj=k+1^n(n+1-j)=sumh=1^n-kh=tfrac(n-k)(n-k+1)2. Logo
sumj=1^n G(k,j)=1n+1l[(n+1-k)k(k+1)2+k(n-k)(n-k+1)2r] =k(n+1-k)n+1cdotn+12
e portanto
|fk|<=k(n+1-k)2

Resposta

|fk|<=tfrack(n+1-k)2

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