Para a função
, mostre que
possui uma única raiz em
.
Passo 1
Beleza, a questão diz: “Para a função
, mostre que
tem exatamente uma raiz em
.” Isso cai em Cálculo: pra provar que existe raiz a gente usa o Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano) e, pra garantir que seja única, a gente mostra que a função é estritamente crescente ali (usando derivada). Vamos precisar de:
- Calcular
e . - Teorema de Bolzano (se
, há ao menos uma raiz em ). - Derivada
e critério de monotonicidade (se , é crescente e tem no máximo uma raiz).
Passo 2
Primeiro, vamos ver os sinais nos extremos do intervalo:
Calcule :
Calcule
Agora,
:
Então
e
.
Passo 3
Pelo Teorema de Bolzano, como
é polinomial (logo contínua) em
e
, existe pelo menos um
tal que
.
Passo 4
Agora, para garantir que só tenha uma raiz, a gente mostra que
é estritamente crescente em
.
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
No intervalo
, temos
, então
e daí
Ou seja,
em todo
, logo
é estritamente crescente ali. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o zero uma única vez.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz no intervalo
.