Para a função f(x)=x^3-9 x+5, mostre que f possui uma única raiz em (-4,-3).

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Para a função , mostre que tem exatamente uma raiz em .” Isso cai em Cálculo: pra provar que existe raiz a gente usa o Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano) e, pra garantir que seja única, a gente mostra que a função é estritamente crescente ali (usando derivada). Vamos precisar de:
  • Calcular e .
  • Teorema de Bolzano (se , há ao menos uma raiz em ).
  • Derivada e critério de monotonicidade (se , é crescente e tem no máximo uma raiz).

Passo 2

Primeiro, vamos ver os sinais nos extremos do intervalo:
Calcule f(-4)=(-4)^3 -9cdot(-4)+5 = -64 +36 +5 = -23 :
f(-3)=(-3)^3 -9cdot(-3)+5 = -27 +27 +5 = 5
Agora, :
Então e .

Passo 3

Pelo Teorema de Bolzano, como é polinomial (logo contínua) em e , existe pelo menos um tal que .

Passo 4

Agora, para garantir que só tenha uma raiz, a gente mostra que f'(x)=3x^2 -9 = 3(x^2-3) é estritamente crescente em f'(x)=3(x^2-3)>3cdot6=18>0 .
Calcule a derivada:
No intervalo , temos , então e daí
Ou seja, em todo , logo é estritamente crescente ali. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o zero uma única vez.

Resposta

A função tem exatamente uma raiz no intervalo .

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