Seja uma função f com seu gráfico passando pelos pontos (0,0),(1,2) e (3,4). Responda os seguintes itens:
a) Através do polinômio de interpolação por sistema linear determinar o valor aproximado de f(2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o valor aproximado de usando um polinômio de interpolação através de um sistema linear. Basicamente, vamos usar os pontos que a função passa para montar um polinômio que se encaixe nesses pontos e, daí, calcular o valor em .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um polinômio de interpolação. Ele é uma função polinomial que passa exatamente pelos pontos dados. Como temos três pontos, vamos assumir que o polinômio é de segundo grau, ou seja, tem a forma:
f(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos que a função 0 = a(0)^2 + b(0) + c Rightarrow c = 0 passa para montar um sistema de equações. Sabemos que:
  1. Quando 2 = a(1)^2 + b(1) + c Rightarrow a + b + c = 2 , 4 = a(3)^2 + b(3) + c Rightarrow 9a + 3b + c = 4 :
  1. Quando , :
  1. Quando , :

Passo 4

Já descobrimos que a + b = 2 pela primeira equação. Vamos substituir esse valor nas outras duas equações:
  • Da segunda equação:
9a + 3b = 4
  • Da terceira equação:
a + b = 2 9a + 3b = 4
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição.
Da primeira equação:
b = 2 - a
Substituindo 9a + 3(2 - a) = 4 9a + 6 - 3a = 4 6a + 6 = 4 6a = -2 a = -13 na segunda equação:
b = 2 - (-13) = 2 + 13 = 73
Agora, encontramos a = -13, b = 73, c = 0 . Vamos encontrar :
Então, os coeficientes são:

Passo 6

Agora que temos o polinômio:
f(x) = -13x^2 + 73x
Vamos calcular f(2) = -13(2)^2 + 73(2) = -43 + 143 = 103 approx 3,33 :

Resposta

O valor aproximado de é ou aproximadamente 3,33.

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