Seja uma função
com seu gráfico passando pelos pontos
e
. Responda os seguintes itens:
a) Através do polinômio de interpolação por sistema linear determinar o valor aproximado de
.
a) Através do polinômio de interpolação por sistema linear determinar o valor aproximado de
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o valor aproximado de
usando um polinômio de interpolação através de um sistema linear. Basicamente, vamos usar os pontos que a função
passa para montar um polinômio que se encaixe nesses pontos e, daí, calcular o valor em
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um polinômio de interpolação. Ele é uma função polinomial que passa exatamente pelos pontos dados. Como temos três pontos, vamos assumir que o polinômio é de segundo grau, ou seja, tem a forma:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos usar os pontos que a função
passa para montar um sistema de equações. Sabemos que:
- Quando
, :
- Quando
, :
- Quando
, :
Passo 4
Já descobrimos que
pela primeira equação. Vamos substituir esse valor nas outras duas equações:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, encontramos
. Vamos encontrar
:
Então, os coeficientes são:
Passo 6
Agora que temos o polinômio:
Vamos calcular
:
Resposta
O valor aproximado de
é
ou aproximadamente 3,33.