Seja uma função f com seu gráfico passando pelos pontos (0,0),(1,2) e (3,4). Responda os seguintes itens:
c) Através do polinômio de interpolação de Newton determinar o valor aproximado de f(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que passa pelos pontos , e . O objetivo aqui é usar o polinômio de interpolação de Newton para encontrar uma aproximação de . Basicamente, vamos montar um polinômio que passa por esses pontos e depois usar ele para calcular o valor que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a tabela de diferenças divididas, que é uma parte fundamental para construir o polinômio de Newton. Temos os pontos:
c|c x & f(x) hline 0 & 0 1 & 2 3 & 4
Agora, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem e depois de segunda ordem.
Diferenças de primeira ordem:
f(1) - f(0)1 - 0 = 2 - 01 = 2
f(3) - f(1)3 - 1 = 4 - 22 = 1
Diferenças de segunda ordem:
1 - 23 - 0 = -13 = -13

Passo 3

Com as diferenças divididas calculadas, agora podemos construir o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f(x0) + De
No nosso caso, temos:
P(x) = 0 + 2(x - 0) - 13(x - 0)(x - 1)
Simplificando:
P(x) = 2x - 13x(x - 1)

Passo 4

Agora, vamos usar esse polinômio para calcular P(2) = 2(2) - 13(2)(2 - 1) = 4 - 13(2)(1) = 4 - 23 = 123 - 23 = 103 approx 3,33 :

Resposta

O valor aproximado de é , ou aproximadamente .

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