Seja o sistema linear
l x1+3 x2-x3=-2, 5 x1+2 x2+2 x3=3, 6 x2+8 x3=-6
Mostre que a aplicação do Método de Jacobi sobre o sistema equivalente obtido pela permutação das duas primeiras equações gera uma sequência convergente. Resolva este sistema utilizando o Método de Jacobi com x^0=(35,-23,-34)^t e varepsilon=10^-3.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o sistema
x1+3,x2-x3=-2, 5,x1+2,x2+2,x3=3, 6,x2+8,x3=-6
e que a gente deve permutar as duas primeiras equações, aplicar o Método de Jacobi, mostrar que dá convergência e calcular as iterações até a diferença entre iterações ficar menor que x^(0)=l(tfrac35,,-tfrac23,,-tfrac34r)^T , começando de
Conteúdo: álgebra linear – métodos iterativos (Jacobi). O que precisamos:
  1. saber como escrever o Método de Jacobi ( ),
  2. verificar convergência (dominância diagonal),
  3. executar iterações até .

Passo 2

Primeiro, permutamos as duas primeiras equações:
5,x1+2,x2+2,x3=3, x1+3,x2-x3=-2, 6,x2+8,x3=-6
Em forma matricial x1&=15l(3-2,x2-2,x3r), x2&=13l(-2 - x1 + x3r), x3&=18l(-6 - 6,x2r) , x^(k+1)= 15l(3-2,x2^(k)-2,x3^(k)r)[6pt] 13l(-2 - x1^(k) + x3^(k)r)[6pt] 18l(-6 -6,x2^(k)r) . No Jacobi isolamos cada variável:
Então a regra de iteração é

Passo 3

Teoria de convergência: se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas, o Jacobi converge. Aqui, nas linhas:
  • ,
  • ,
  • .
    Logo tem dominância e converge.

Passo 4

Agora calculamos iterações até x1^(1)&=tfrac15l(3-2(-0.6667)-2(-0.75)r)=1.1667, x2^(1)&=tfrac13l(-2-0.6+(-0.75)r)=-1.1167, x3^(1)&=tfrac18l(-6-6(-0.6667)r)=-0.25, De.
Começando de x1^(2)&=1.14668, x2^(2)=-1.13889, x3^(2)=0.087525, De:
k=0→1:
x^(3)=(1.02055,,-1.01972,,0.104175), De
k=1→2:
x^(4)=(0.966217,,-0.972125,,0.014789), De
k=2→3:
x^(5)=(0.982935,,-0.983810,,-0.020906), De
k=3→4:
x^(6)=(1.001886,,-1.001280,,-0.012143), De
k=4→5:
x^(7)=(1.005369,,-1.004676,,0.000960), De
k=5→6:
x^(8)=(1.001487,,-1.001470,,0.003507), De
k=6→7:
x^(9)=(0.999185,,-0.999326,,0.001102), De
k=7→8:
x^(10)=(0.999290,,-0.999361,,-0.000505), De
k=8→9:
x^(11)=(0.999946,,-0.999932,,-0.000479), De
k=9→10:
k=10→11:

Resposta

Após 11 iterações, o Método de Jacobi convergiu (critério boxedxapproxl(0.99995,,-0.99993,,-0.00048r)^T -norm) e

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