Sejam
Use a Fatoração de Cholesky, substituições para frente e para trás para resolver o sistema linear
A x=b .
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente resolver o sistema
onde
$$A=\begin{pmatrix}
16 & 4 & 8 & 4 \
4 & 10 & 8 & 4 \
8 & 8 & 12 & 10 \
4 & 4 & 10 & 12
\end{pmatrix},\quad
4 & 10 & 8 & 4 \
8 & 8 & 12 & 10 \
4 & 4 & 10 & 12
\end{pmatrix},\quad
b=
A= 16 & 4 & 8 & 4 4 & 10 & 8 & 4 8 & 8 & 12 & 10 4 & 4 & 10 & 12 , b=32263830 $$
usando a Fatoração de Cholesky (ou seja, achar uma matriz triangular inferior tal que
) e depois fazer substituição para frente (
) e para trás (
).
Pra isso, vamos precisar:
- Entender a fórmula do Cholesky:
,
pra
.
- Saber fazer substituição para frente e para trás em sistemas triangulares.
usando a Fatoração de Cholesky (ou seja, achar uma matriz triangular inferior
Pra isso, vamos precisar:
- Entender a fórmula do Cholesky:
- Saber fazer substituição para frente e para trás em sistemas triangulares.
Passo 2
Fatoração de Cholesky (
L = 4 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 2 & 2 & 2 & 0 1 & 1 & 3 & 1 , L^T = 4 & 1 & 2 & 1 0 & 3 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 1 ).
Vamos construir linha a linha:
Vamos construir
Então
Passo 3
Substituição para frente (
y = 8651 )
A gente resolve de cima pra baixo:
A gente resolve
Logo
Passo 4
Substituição para trás (
)
Agora de baixo pra cima:
Agora de baixo pra cima:
Resposta
$
``