Seja a função f(x)=e^x tabelada abaixo. Usando o polinômio de interpolação linear, calcule o ponto x=1.32 e um limete superior para o erro.
|c|c|c| hline$X$ & 1.3 & 1.4 hline$f(x)$ & 3.669 & 4.055 hline 1.3 1.4
3.669 4.055

Passo 1

Beleza, temos a função só que os valores só estão tabulados em com e em com . A tarefa é estimar usando interpolação linear e depois achar um limite superior pro erro dessa aproximação.
Conteúdo: interpolação polinomial de grau 1 (reta) e estimativa de erro via o resto de Taylor (segunda derivada). Vamos precisar da fórmula da reta que passa por dois pontos e da fórmula do erro para interpolação linear.

Passo 2

Interpolação linear é usar a equação da reta que passa por L(x)=f(x0)+f(x1)-f(x0)x1-x0(x-x0) e m=4.055-3.6691.4-1.3 =0.3860.1 =3.86 . A fórmula é
L(x)=3.669+3.86,(x-1.3)
Aqui L(1.32)=3.669+3.86,(1.32-1.3) =3.669+3.86cdot0.02 =3.669+0.0772 =3.7462 , , , . Primeiro calculamos o coeficiente angular (a “inclinação” da reta):
Então a reta fica
Substituindo :

Passo 3

Agora, o erro de interpolação linear pode ser estimado pelo resto de Taylor de segunda ordem. A fórmula geral é
|f(x)-L(x)|<= M2,(x-x0)(x-x1),
onde M=e^1.4approx4.055 . Como |f(1.32)-L(1.32)|<= 4.0552times0.0016 =2.0275times0.0016 approx0.003244 , temos , que cresce no intervalo. Então
Para calculamos . Pegamos valor absoluto: .
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Resposta

Usando interpolação linear,
f(1.32)approx 3.7462 e |,erro,|<= 0.003244

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