Seja f(x) uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(1.22). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios Lk(x), o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(1.22). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x 1.2 1.8 3.7 4.1 4.2 5.7
f(x) 0.93 -0.1 -3.01 3.37 3.51 4.87

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função tabulada em 6 pontos e que queremos aproximar f(1.22) usando um polinômio de Lagrange de grau 3.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
  1. Escolher 4 pontos (grau 3 → 4 nós) mais próximos de x=1.22.
  2. Montar os polinômios de base .
  3. Combinar esses com os valores de para formar .
  4. Avaliar e arredondar a 4 casas decimais.

Passo 2

Escolhendo os 4 nós mais próximos de 1.22 na tabela x0=1.2, f(x0)=0.93; x1=1.8, f(x1)=-0.1; x2=3.7, f(x2)=-3.01; x3=4.1, f(x3)=3.37 :
vamos usar

Passo 3

Definição geral dos polinômios de Lagrange (grau 3):
Lk(x)=prodsubstackj=0jneq k^3x - xjxk - xj, k=0,1,2,3
Cada é 1 em e 0 em todos os outros nós.

Passo 4

Calcular os denominadores (x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)&=(1.2-1.8)(1.2-3.7)(1.2-4.1)=-0.6cdot(-2.5)cdot(-2.9)=-4.3500, (x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)&=(1.8-1.2)(1.8-3.7)(1.8-4.1)=0.6cdot(-1.9)cdot(-2.3)=2.6220, (x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)&=(3.7-1.2)(3.7-1.8)(3.7-4.1)=2.5cdot1.9cdot(-0.4)=-1.9000, (x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)&=(4.1-1.2)(4.1-1.8)(4.1-3.7)=2.9cdot2.3cdot0.4=2.6680 :

Passo 5

Escrevendo os L0(x)&=(x-1.8)(x-3.7)(x-4.1)-4.3500, L1(x)&=(x-1.2)(x-3.7)(x-4.1)2.6220, L2(x)&=(x-1.2)(x-1.8)(x-4.1)-1.9000, L3(x)&=(x-1.2)(x-1.8)(x-3.7)2.6680 com os valores numéricos:

Passo 6

Montando o polinômio de Lagrange de grau 3:
P3(x)= 0.93,L0(x);+;(-0.1),L1(x);+;(-3.01),L2(x);+;3.37,L3(x)

Passo 7

Avaliação em P3(1.22)approx 0.9696 :
  1. Calcular usando as expressões do passo 5.
  2. Substituir em .
    Feitas as contas e arredondando a 4 casas decimais, obtemos

Resposta

Polinômios de base:
L0(x)&=(x-1.8)(x-3.7)(x-4.1)-4.3500, L1(x)&=(x-1.2)(x-3.7)(x-4.1)2.6220, L2(x)&=(x-1.2)(x-1.8)(x-4.1)-1.9000, L3(x)&=(x-1.2)(x-1.8)(x-3.7)2.6680
Polinômio de Lagrange (grau 3):
P3(x)=0.93,L0(x)-0.1,L1(x)-3.01,L2(x)+3.37,L3(x)
Aproximação final:
f(1.22)approx P3(1.22)=0.9696

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