Seja
uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(1.22). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios
, o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(1.22). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
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1.2 | 1.8 | 3.7 | 4.1 | 4.2 | 5.7 |
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0.93 | -0.1 | -3.01 | 3.37 | 3.51 | 4.87 |
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma função tabulada em 6 pontos e que queremos aproximar f(1.22) usando um polinômio de Lagrange de grau 3.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que vamos precisar:
- Escolher 4 pontos (grau 3 → 4 nós) mais próximos de x=1.22.
- Montar os polinômios de base
. - Combinar esses
com os valores de para formar . - Avaliar
e arredondar a 4 casas decimais.
Passo 2
Escolhendo os 4 nós mais próximos de 1.22 na tabela
:
vamos usar
vamos usar
Passo 3
Definição geral dos polinômios de Lagrange (grau 3):
Cada
é 1 em
e 0 em todos os outros nós.
Passo 4
Calcular os denominadores
:
Passo 5
Escrevendo os
com os valores numéricos:
Passo 6
Montando o polinômio de Lagrange de grau 3:
Passo 7
Avaliação em
:
- Calcular
usando as expressões do passo 5. - Substituir em
.
Feitas as contas e arredondando a 4 casas decimais, obtemos
Resposta
Polinômios de base:
Polinômio de Lagrange (grau 3):
Aproximação final: