Seja f(x) uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(5.21). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios Lk(x), o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(5.21). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x 1.5 2 2.6 4.3 4.7 5.7
f(x) 0.62 4.64 3.55 4.26 -3.83 4.53

Passo 1

Beleza, a pergunta é: “Temos uma função tabelada em 6 pontos e queremos aproximar f(5.21) usando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3.”
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que precisamos:
  1. Escolher 4 pontos próximos de x=5.21.
  2. Montar os polinômios base .
  3. Construir o polinômio .
  4. Avaliar com 4 casas decimais.

Passo 2

Escolhi os 4 nós mais próximos de 5.21:
Lk(x);=;prodsubstackj=0jneq k^3x - xjxk - xj,
Lembrando que
L0(x) =(x-4.3)(x-4.7)(x-5.7)(2.6-4.3)(2.6-4.7)(2.6-5.7) =(x-4.3)(x-4.7)(x-5.7)-11.0670
Então:
L1(x) =(x-2.6)(x-4.7)(x-5.7)(4.3-2.6)(4.3-4.7)(4.3-5.7) =(x-2.6)(x-4.7)(x-5.7)0.9520
L2(x) =(x-2.6)(x-4.3)(x-5.7)(4.7-2.6)(4.7-4.3)(4.7-5.7) =(x-2.6)(x-4.3)(x-5.7)-0.8400
L3(x) =(x-2.6)(x-4.3)(x-4.7)(5.7-2.6)(5.7-4.3)(5.7-4.7) =(x-2.6)(x-4.3)(x-4.7)4.3400

Passo 3

O polinômio de Lagrange de grau 3 é
P3(x) =3.55,L0(x)+4.26,L1(x)-3.83,L2(x)+4.53,L3(x)
Para achar L0(5.21)&approx0.0206, L1(5.21)&approx-0.6854, L2(5.21)&approx1.3846, L3(5.21)&approx0.2781 a gente calcula cada P3(5.21)&=3.55cdot0.0206 +4.26cdot(-0.6854) -3.83cdot1.3846 +4.53cdot0.2781 &approx0.0730-2.9190-5.3042+1.2593 &approx-6.8909 :
Então

Resposta

Aproximação de pelo polinômio de Lagrange de grau 3 = ** −6.8909**.

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