Seja f(x) uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(5.69). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios Lk(x), o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(5.69). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x 2.8 3.1 3.8 5.2 5.6 5.7
f(x) 2.9 3.25 1.47 -0.3 -4.17 4.53

Passo 1

Beleza, a questão é de interpolação pelo método de Lagrange (conteúdo: Polinômio interpolador de Lagrange de grau 3). A ideia é aproximar usando um polinômio de grau 3 que passe por quatro pontos próximos a . Aqui a gente vai precisar:
  1. Escolher os 4 pontos cujos estão mais perto de 5.69.
  2. Montar as bases .
  3. Formar o polinômio .
  4. Avaliar arredondando a 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro escolhemos os 4 pontos mais próximos de 5.69 na tabela:
(3.8,,1.47), (5.2,,-0.3), (5.6,,-4.17), (5.7,,4.53)
A base de Lagrange Lk(x);=;prodsubstackj=0jneq k^3x - xjxk - xj para cada ponto é
Aqui corresponde a , a , etc.

Passo 3

Escrevendo cada L0(x) =(x-5.2),(x-5.6),(x-5.7)(3.8-5.2),(3.8-5.6),(3.8-5.7) =(x-5.2)(x-5.6)(x-5.7)-4.7880, em L1(x) =(x-3.8),(x-5.6),(x-5.7)(5.2-3.8),(5.2-5.6),(5.2-5.7) =(x-3.8)(x-5.6)(x-5.7)0.2800, e já substituindo numericamente os denominadores (com 4 casas decimais):
L2(x) =(x-3.8),(x-5.2),(x-5.7)(5.6-3.8),(5.6-5.2),(5.6-5.7) =(x-3.8)(x-5.2)(x-5.7)-0.0720,
L3(x) =(x-3.8),(x-5.2),(x-5.6)(5.7-3.8),(5.7-5.2),(5.7-5.6) =(x-3.8)(x-5.2)(x-5.6)0.0950

Passo 4

O polinômio de Lagrange de grau 3 é
P3(x) =1.47,L0(x);+;(-0.3),L1(x);+;(-4.17),L2(x);+;4.53,L3(x)
Agora é só colocar em cada , calcular e somar os termos.

Passo 5

Avaliação em P3(5.69) =1.47,(0.0000921) +(-0.3),(-0.006075) +(-4.17),(0.128625) +4.53,(0.877360) approx3.4400 :
Então

Resposta

P3(x)=1.47,L0(x);-;0.3,L1(x);-;4.17,L2(x);+;4.53,L3(x),
f(5.69)approx P3(5.69)=3.4400

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