Seja
uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(4.34). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios
, o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(4.34). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x | 1.6 | 2 | 2.3 | 2.5 | 3.7 | 5.1 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0.66 | 4.27 | 1.7 | 1.8 | -0.98 | 5.29 |
Expressões para os polinômios
: apresentar as expressões utilizadas para calcular todos os valores
envolvidos. Nesse caso, já é possível efetuar os cálculos tendo realizado a substituição de x pelo valor informado pelo enunciado. Desta forma, para cada
, será encontrado um valor, e não mais uma expressão em função de x.
Polinômio de grau 3: escrever a forma do polinômio de grau 3, já com os respectivos valores substituídos.
Valor : significa encontrar o valor aproximado para o ponto x utilizando o polinômio
.
Polinômio de grau 3: escrever a forma do polinômio de grau 3, já com os respectivos valores substituídos.
Valor
Passo 1
Beleza, aqui a gente vai usar interpolação de Lagrange (conteúdo de Métodos Numéricos) pra approximar o valor de
usando um polinômio de grau 3. Pra isso precisamos:
- Escolher 4 pontos da tabela (os mais próximos de 4.34).
- Montar os polinômios base
de Lagrange já substituindo . - Somar
.
Passo 2
Primeiro escolhemos os quatro pontos com
mais próximos de 4.34:
.
Em geral,
Em geral,
Passo 3
Calcular cada
com 4 casas decimais:
Passo 4
Agora o polinômio de grau 3 já avaliado em
é
Substituindo os valores:
Resposta
Calculando com 4 casas decimais e arredondando, obtemos