Seja f(x) uma função tabelada em 6 pontos, conforme a tabela abaixo. Utilizando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 3, obtenha uma aproximação para f(4.34). Sua resposta deve mostrar as expressões para os polinômios Lk(x), o polinômio de Lagrange de grau 3, e o valor de f(4.34). Efetue os cálculos com 4 casas decimais e arredondamento.
x 1.6 2 2.3 2.5 3.7 5.1
f(x) 0.66 4.27 1.7 1.8 -0.98 5.29
Expressões para os polinômios Lk: apresentar as expressões utilizadas para calcular todos os valores L0, L1 envolvidos. Nesse caso, já é possível efetuar os cálculos tendo realizado a substituição de x pelo valor informado pelo enunciado. Desta forma, para cada Lk, será encontrado um valor, e não mais uma expressão em função de x.
Polinômio de grau 3: escrever a forma do polinômio de grau 3, já com os respectivos valores substituídos.
Valor f(4.34): significa encontrar o valor aproximado para o ponto x utilizando o polinômio p3.

Passo 1

Beleza, aqui a gente vai usar interpolação de Lagrange (conteúdo de Métodos Numéricos) pra approximar o valor de usando um polinômio de grau 3. Pra isso precisamos:
  1. Escolher 4 pontos da tabela (os mais próximos de 4.34).
  2. Montar os polinômios base de Lagrange já substituindo .
  3. Somar .

Passo 2

Primeiro escolhemos os quatro pontos com Lk(4.34) =prodsubstackj=0jneq k^34.34 - xjxk - xj mais próximos de 4.34:
.
Em geral,

Passo 3

Calcular cada L0(4.34) =4.34-2.52.3-2.5;times;4.34-3.72.3-3.7;times;4.34-5.12.3-5.1 =(-9.2)times(-0.4571)times(0.2714) approx 1.1416 com 4 casas decimais:
L1(4.34) =4.34-2.32.5-2.3;times;4.34-3.72.5-3.7;times;4.34-5.12.5-5.1 =(10.2)times(-0.5333)times(0.2923) approx -1.5902 , L2(4.34) =4.34-2.33.7-2.3;times;4.34-2.53.7-2.5;times;4.34-5.13.7-5.1 =(1.4571)times(1.5333)times(0.5429) approx 1.2129 :
L3(4.34) =4.34-2.35.1-2.3;times;4.34-2.55.1-2.5;times;4.34-3.75.1-3.7 =(0.7286)times(0.7077)times(0.4571) approx 0.2357
, :
, :
, :

Passo 4

Agora o polinômio de grau 3 já avaliado em p3(4.34) =1.7cdot L0(4.34) +1.8cdot L1(4.34) +(-0.98)cdot L2(4.34) +5.29cdot L3(4.34) é
p3(4.34) =1.7,(1.1416) +1.8,(-1.5902) -0.98,(1.2129) +5.29,(0.2357)
Substituindo os valores:

Resposta

Calculando com 4 casas decimais e arredondando, obtemos
f(4.34)approx p3(4.34)=-0.8636

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