Seja g(x)=x^2.
Qual é a imagem de g se o domínio de g for o conjunto dos números negativos?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função g(x)=x² e o domínio dela é o conjunto dos números negativos (ou seja, todos os x tais que x<0). A pergunta é: qual é a imagem (conjunto de valores que g assume) nessa situação?
Conteúdo da matéria: funções reais, domínio e imagem de função, propriedade do quadrado de um número real.
O que vamos precisar para resolver:
  • Saber que x²≥0 para todo x real.
  • Analisar o que acontece com x² quando x varia só em valores negativos.
  • Entender limites simples quando x→0⁻ e x→−∞ para ver os extremos da imagem.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é imagem de uma função: é o conjunto de todos os valores y=g(x) que realmente aparecem quando x percorre o domínio.
Aqui, g(x)=x². Sabemos da matemática básica que, para qualquer x real, x²≥0 (porque tanto faz x positivo ou negativo, ao quadrado o resultado fica não negativo).

Passo 3

Só que o domínio é só x<0 (números negativos). Então, vamos pensar:
  • Para x bem “pequeno” (no sentido de aproximar de zero), por exemplo x=−0,1, x²=0,01. Se x for −0,01, x²=0,0001. Quanto mais x se aproxima de zero pela esquerda, x² fica cada vez mais perto de zero, mas sempre positivo, nunca chega a zero exatamente porque x nunca será zero.
  • Para x muito negativo, por exemplo x=−10, x²=100; se x=−100, x²=10000. Quanto x→−∞, x²→+∞.

Passo 4

Com isso a gente vê que:
  • O valor mínimo que g(x) pode se aproximar é 0, mas sem nunca alcançá-lo (porque x nunca é exatamente 0). Isso diz que g(x) fica maior que 0.
  • O valor máximo tende a crescer sem limite (vai a +∞ quando x vai a −∞).
Portanto, a imagem de g, quando o domínio é {x<0}, é o intervalo aberto (0, +∞).

Resposta

A imagem de g(x)=x², com domínio nos números negativos, é o intervalo .

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