Seja
.
Qual é a imagem de
se o domínio de
for o intervalo
?
Qual é a imagem de
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos a função
e o domínio dela é o intervalo
. A parada é achar a imagem de
nesse intervalo.
Conteúdo: estamos trabalhando com funções reais, mais especificamente com definição de domínio e imagem (ou “contradomínio restrito” na linguagem mais informal). Para resolver, precisamos saber o que é imagem e como analisar se a função cresce ou decresce no intervalo dado.
Conteúdo: estamos trabalhando com funções reais, mais especificamente com definição de domínio e imagem (ou “contradomínio restrito” na linguagem mais informal). Para resolver, precisamos saber o que é imagem e como analisar se a função cresce ou decresce no intervalo dado.
Passo 2
Vamos lembrar o que é imagem de uma função num intervalo: é o conjunto de todos os valores que
assume quando
percorre o domínio dado. Formalmente,
Ou seja, temos que ver quais valores de
aparecem quando
vai de 1 até 3.
Passo 3
Pra determinar direitinho o mínimo e o máximo que
alcança no intervalo, precisamos ver se
é crescente ou decrescente em
.
– A derivada de é
.
– Como está entre 1 e 3,
é sempre positivo (entre 2 e 6).
Logo, em todo o intervalo, o que mostra que
é estritamente crescente em
.
– A derivada de
– Como
Logo,
Passo 4
Se
é crescente, o menor valor de
ocorre em
e o maior em
.
–
–
–
–
Resposta
A imagem de
no domínio
é o intervalo