Seja g(x)=x^2.
Qual é a imagem de g se o domínio de g for o intervalo [1,3] ?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos a função
g(x)=x^2
e o domínio dela é o intervalo . A parada é achar a imagem de nesse intervalo.
Conteúdo: estamos trabalhando com funções reais, mais especificamente com definição de domínio e imagem (ou “contradomínio restrito” na linguagem mais informal). Para resolver, precisamos saber o que é imagem e como analisar se a função cresce ou decresce no intervalo dado.

Passo 2

Vamos lembrar o que é imagem de uma função num intervalo: é o conjunto de todos os valores que Im(g)=,g(x)mid xin[1,3] assume quando percorre o domínio dado. Formalmente,
Ou seja, temos que ver quais valores de aparecem quando vai de 1 até 3.

Passo 3

Pra determinar direitinho o mínimo e o máximo que alcança no intervalo, precisamos ver se é crescente ou decrescente em .
– A derivada de é .
– Como está entre 1 e 3, é sempre positivo (entre 2 e 6).
Logo, em todo o intervalo, o que mostra que é estritamente crescente em .

Passo 4

Se é crescente, o menor valor de ocorre em e o maior em .

Resposta

A imagem de boxed[1,9] no domínio é o intervalo

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