1. Utilize o método de Steffensen para determinar com a precisão de 10^-4 a raiz de x^3-x-1=0 no intervalo [1, 2] e compare o resultado com os resultados do Exercício 6 da Seção 2.2.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede:
– Enunciado resumido: encontrar a raiz da equação
f(x)=x^3 - x - 1 = 0
no intervalo [1, 2], usando o método de Steffensen e com precisão de xn+1 ;=; xn ;-;l[f(xn)r]^2,fl(xn + f(xn)r);-;f(xn), . Depois a gente compara com o resultado do Exercício 6 da Seção 2.2 (que ali a galera usou, se não me engano, o método de Newton).
– Conteúdo: método de Steffensen (que é uma maneira de “enganar” o Newton sem precisar de derivada, usando aceleração de Aitken).
– O que vamos precisar:
  1. A função .
  2. A fórmula de Steffensen:
  3. Critério de parada: .

Passo 2

Escolhe um chute inicial, por exemplo f(1,5) = (1,5)^3 - 1,5 - 1 = 3,375 - 2,5 = 0,875 .
  1. Calcula f(2,375) = (2,375)^3 -2,375 -1 approx 13,396 -3,375 = 10,021 : x1 = 1,5 ;-;(0,875)^210,021 - 0,875 approx 1,5 - 0,76569,146 = 1,4163
  2. Avalia .
  3. Usa a fórmula:

Passo 3

Agora x2 = 1,4163 - (0,4252)^23,4025-0,4252 approx 1,3555 . Faz de novo:
  1. .
  2. .

Passo 4

Continua até a tolerância:
– A partir de l|x5 - x4r| approx 0,0001 < 10^-4, gera .
– De sai .
– De sai , e aí
então paramos.

Passo 5

Comparando com o Exercício 6 da Seção 2.2 (onde a galera usou Newton e encontrou algo como com a mesma precisão), vemos que o valor final bate direitinho. A principal diferença é que o Steffensen não precisa calcular derivada, mas ainda sim convergiu rapidinho e deu o mesmo resultado prático.

Resposta

A raiz aproximada é
boxedx approx 1,3247,
com precisão de .

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