Utilize o método de Steffensen para determinar com a precisão de a raiz de no intervalo [1, 2] e compare o resultado com os resultados do Exercício 6 da Seção 2.2.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede:
– Enunciado resumido: encontrar a raiz da equação
no intervalo [1, 2], usando o método de Steffensen e com precisão de . Depois a gente compara com o resultado do Exercício 6 da Seção 2.2 (que ali a galera usou, se não me engano, o método de Newton).
– Conteúdo: método de Steffensen (que é uma maneira de “enganar” o Newton sem precisar de derivada, usando aceleração de Aitken).
– O que vamos precisar:
A função .
A fórmula de Steffensen:
Critério de parada: .
Passo 2
Escolhe um chute inicial, por exemplo f(1,5) = (1,5)^3 - 1,5 - 1 = 3,375 - 2,5 = 0,875 .
Agora x2 = 1,4163 - (0,4252)^23,4025-0,4252 approx 1,3555 . Faz de novo:
.
.
Passo 4
Continua até a tolerância:
– A partir de l|x5 - x4r| approx 0,0001 < 10^-4, gera .
– De sai .
– De sai , e aí
então paramos.
Passo 5
Comparando com o Exercício 6 da Seção 2.2 (onde a galera usou Newton e encontrou algo como com a mesma precisão), vemos que o valor final bate direitinho. A principal diferença é que o Steffensen não precisa calcular derivada, mas ainda sim convergiu rapidinho e deu o mesmo resultado prático.