Seja
.
Qual é a imagem de
se o domínio de
for o intervalo
?
Qual é a imagem de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a função
e que o domínio (os
que a gente pode usar) é o intervalo
. A matéria aqui é “imagem de uma função num intervalo” (também chamada de alcance ou range). Para resolver, a gente vai precisar entender que, num trecho fechado de uma função contínua, o valor mínimo e o valor máximo ou ocorrem nas bordas do intervalo ou em pontos críticos (onde a derivada é zero).
Passo 2
Aplicando a ideia de pontos críticos: primeiro, a gente vê que
é derivável em todo lugar, e a derivada é
Para achar os pontos críticos, a gente resolve
, ou seja
Esse ponto
está dentro do nosso intervalo
, então vale a pena testar.
Passo 3
Agora a gente avalia
nos candidatos a mínimo e máximo: as extremidades
e
, e o ponto crítico
.
Passo 4
Comparando esses valores, vemos:
- O menor valor é
em . - O maior valor é
em .
Como a função é contínua e estamos em intervalo fechado, a imagem é justamente todos os valores entre o mínimo e o máximo.
Resposta
A imagem de
no domínio
é o intervalo