Seja g(x)=x^2.
Qual é a imagem de g se o domínio de g for o intervalo [-5,3] ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função e que o domínio (os que a gente pode usar) é o intervalo . A matéria aqui é “imagem de uma função num intervalo” (também chamada de alcance ou range). Para resolver, a gente vai precisar entender que, num trecho fechado de uma função contínua, o valor mínimo e o valor máximo ou ocorrem nas bordas do intervalo ou em pontos críticos (onde a derivada é zero).

Passo 2

Aplicando a ideia de pontos críticos: primeiro, a gente vê que g'(x)=2x é derivável em todo lugar, e a derivada é
2x=0Longrightarrow x=0
Para achar os pontos críticos, a gente resolve , ou seja
Esse ponto está dentro do nosso intervalo , então vale a pena testar.

Passo 3

Agora a gente avalia nos candidatos a mínimo e máximo: as extremidades e , e o ponto crítico .

Passo 4

Comparando esses valores, vemos:
  • O menor valor é em .
  • O maior valor é em .
Como a função é contínua e estamos em intervalo fechado, a imagem é justamente todos os valores entre o mínimo e o máximo.

Resposta

A imagem de no domínio é o intervalo

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