Seja g(x)=x^2.
Qual é a imagem de g se o domínio de g for o conjunto dos números reais?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
g(x)=x^2
com domínio todo o conjunto dos números reais, isto é, . A pergunta é: “qual é a imagem dessa função?”, ou seja, quais valores consegue assumir quando varia por todos os reais?
Conteúdo: função de em , conceito de imagem (ou contradomínio efetivo) e propriedades do quadrado de um número real.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de imagem de uma função Im(g)=,g(x)mid xinR :
Então a gente precisa descobrir todos os valores possíveis de quando roda todos os reais.

Passo 3

Teoria do quadrado: para qualquer x^2>=0forall,xinR, , é sempre maior ou igual a zero, porque
  • se é positivo ou zero, ;
  • se é negativo, .
    Logo, não importa qual real eu escolha, nunca vai dar número negativo. Isso mostra que
ou seja, .

Passo 4

Agora a outra mão do raciocínio: será que todo número não negativo x^2 = (pmraizy)^2 = y aparece como [0,+infty)subseteqIm(g) para algum ?
Se , basta pegar (ou ) para ter
Isso prova que qualquer tem um real cujo quadrado é . Logo

Resposta

Juntando tudo, temos
Im(g) = [0, +infty)

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