Qual o maior número possível de fatores primos de um inteiro n que não tem nenhum fator <= n^1 / 3 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Qual o maior número possível de fatores primos de um inteiro que não tem nenhum fator ?”
Conteúdo: teoria de divisibilidade e contagem de fatores primos (com multiplicidade).
O que vamos usar: se se escreve como produto de primos , e sabendo que todos esses , a gente consegue relacionar com para botar um limite em .

Passo 2

Escreve n = p1p2cdots pk ;>=; p1^k ;;>; l(n^1/3r)^k ;=; n^k/3 com n > n^k/3 ;Longrightarrow; 1 > n^k/3 - 1 todos maiores que k3 <= 1 ;Longrightarrow; k <= 3 .
Então
Isso dá
Como , a potência só faz sentido se , ou seja

Passo 3

Testando :
  • Se os três fatores fossem iguais, , daí . Mas o enunciado proíbe ter fator , e aqui o fator seria exatamente igual a .
  • Se fossem primos diferentes, o menor satisfaz . Isso leva a , mas como dá contradição.
    Logo não rola.

Passo 4

Testando :
Basta um exemplo pra mostrar que funciona. Tome .
  • Os fatores são e .
  • .
  • Tanto quanto .
    Então dá pra ter exatamente dois fatores primos, sem violar a condição.

Resposta

O maior número possível de fatores primos (contando multiplicidade) é 2.

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