Qual o maior número possível de fatores primos de um inteiro n que não tem nenhum fator
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Qual o maior número possível de fatores primos de um inteiro
que não tem nenhum fator
?”
Conteúdo: teoria de divisibilidade e contagem de fatores primos (com multiplicidade).
O que vamos usar: se se escreve como produto de
primos
, e sabendo que todos esses
, a gente consegue relacionar
com
para botar um limite em
.
Conteúdo: teoria de divisibilidade e contagem de fatores primos (com multiplicidade).
O que vamos usar: se
Passo 2
Escreve
com
todos maiores que
.
Então
Então
Isso dá
Como
, a potência só faz sentido se
, ou seja
Passo 3
Testando
:
- Se os três fatores fossem iguais,
, daí . Mas o enunciado proíbe ter fator , e aqui o fator seria exatamente igual a . - Se fossem primos diferentes, o menor
satisfaz . Isso leva a , mas como dá contradição.
Logonão rola.
Passo 4
Testando
:
Basta um exemplo pra mostrar que funciona. Tome .
Basta um exemplo pra mostrar que funciona. Tome
- Os fatores são
e . -
. - Tanto
quanto .
Então dá pra ter exatamente dois fatores primos, sem violar a condição.
Resposta
O maior número possível de fatores primos (contando multiplicidade) é 2.