Seja n um número inteiro positivo composto e
seu menor fator primo. Sabe-se que:
(1)
.
(2)
divide
e
.
Determine todos os possíveis valores de
.
(1)
(2)
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: temos um inteiro composto
e chamamos de
o menor fator primo dele. Sabemos duas coisas:
-
. -
divide tanto quanto .
Queremos achar todos os
que satisfazem isso. Para resolver, vamos usar conceitos de divisibilidade (diferença de múltiplos, divisores de um número pequeno) e relações entre fator primo e tamanho de
.
Passo 2
Começando pela condição 2: se
divide
e também divide
, então ele divide qualquer combinação linear dessas expressões. Em particular:
Logo,
divide 3. Isso já limita bastante os valores possíveis de
.
Passo 3
Os divisores (inteiros) de 3 são
e
. Então as opções são:
-
, -
, -
, -
(mas 1 não é primo, então descartamos).
Ficam
.
Passo 4
Agora usa a condição 1: como
é o menor primo que divide
, a gente sabe que
tem pelo menos dois fatores iguais a
(porque
é composto e não pode ser menor que
). Ou seja,
Mas ao mesmo tempo,
dá
. Daí vem
Passo 5
Só falta testar
para
e verificar que de fato
divide
e
:
- Para
: , . Divisor funciona para qualquer inteiro, então ok. - Para
: , . Divisor 1 também divide tudo, então ok. - Para
: , . -
, que não é múltiplo de 3; - logo falha.
-
Sobraram só
e
.
Resposta
Os únicos valores de
possíveis são