Seja n um número inteiro positivo composto e p seu menor fator primo. Sabe-se que:
(1) p >= raizn.
(2) p-4 divide 6 n+7 e 3 n+2.
Determine todos os possíveis valores de n.

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: temos um inteiro composto e chamamos de o menor fator primo dele. Sabemos duas coisas:
  1. .
  2. divide tanto quanto .
Queremos achar todos os que satisfazem isso. Para resolver, vamos usar conceitos de divisibilidade (diferença de múltiplos, divisores de um número pequeno) e relações entre fator primo e tamanho de .

Passo 2

Começando pela condição 2: se (6n+7) ;-; 2,(3n+2) ;=;6n+7-6n-4 ;=;3 divide e também divide , então ele divide qualquer combinação linear dessas expressões. Em particular:
Logo, divide 3. Isso já limita bastante os valores possíveis de .

Passo 3

Os divisores (inteiros) de 3 são e . Então as opções são:
  • ,
  • ,
  • ,
  • (mas 1 não é primo, então descartamos).
Ficam .

Passo 4

Agora usa a condição 1: como n ;>=; p^2 é o menor primo que divide p^2 <= n <= p^2 Longrightarrow n = p^2 , a gente sabe que tem pelo menos dois fatores iguais a (porque é composto e não pode ser menor que ). Ou seja,
Mas ao mesmo tempo, . Daí vem

Passo 5

Só falta testar para e verificar que de fato divide e :
  • Para : , . Divisor funciona para qualquer inteiro, então ok.
  • Para : , . Divisor 1 também divide tudo, então ok.
  • Para : , .
    • , que não é múltiplo de 3;
    • logo falha.
Sobraram só e .

Resposta

Os únicos valores de boxed9 e 25 possíveis são

Exercícios relacionados