O enunciado dá um polígono regular A_{1}A_{2}\dots A_{n} inscrito no círculo unitário e pede para mostrar que o produto das distâncias de A_{1} a todos os outros vértices vale n. Mais precisamente, a quantidade pedida é
Está inscrito no círculo unitário (raio 1 e centro na origem).
Queremos o produto das distâncias do vértice A_{1} a cada um dos outros n-1 vértices.
Passo 2
Colocamos o polígono no plano complexo de forma conveniente: identificamos o círculo unitário com o conjunto dos complexos de módulo 1 e tomamos, sem perda de generalidade, A_{1} correspondente ao ponto complexo 1. Como o polígono é regular, os vértices são as raízes n-ésimas da unidade. Definimos
A distância (chord) entre A_{1} e A_{k+1} é o módulo da diferença dos complexos correspondentes, isto é,
\overline{A_{1}A_{k+1}} = |1 - \omega^{k}|
para k=1,2,\dots,n-1. Portanto o produto pedido é
\prod_{k=1}^{n-1} |1 - \omega^{k}|.
Passo 3
Considere o polinômio
f(z)=z^{n}-1.
As raízes de f são exatamente 1,\omega,\omega^{2},\dots,\omega^{n-1}, logo vale a fatorização
z^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1} (z-\omega^{k}).
Passo 4
Agora usamos uma propriedade geral de polinômios com raízes simples: se
f(z)=\prod_{j=0}^{n-1} (z-r_{j}),
então a derivada satisfaz, para cada r_{j},
f'(r_{j})=\prod_{k\neq j} (r_{j}-r_{k}).
(Explicação rápida: derivando o produto e avaliando em z=r_{j} só permanece o termo da derivada em que se diferencia o fator (z-r_{j}); esse termo avaliado em z=r_{j} é exatamente o produto dos restantes.)
Aplicando isso ao nosso f(z)=z^{n}-1 e à raiz r_{0}=1 obtemos
f'(1)=\prod_{k=1}^{n-1} (1-\omega^{k}).
Passo 5
Cálculo direto da derivada de f:
f'(z)=n z^{n-1},
portanto
f'(1)=n.
Combinando com o resultado do passo anterior temos
\prod_{k=1}^{n-1} (1-\omega^{k})=n.
Passo 6
Tomando módulos em ambos os lados da igualdade do passo anterior, e lembrando que cada |1-\omega^{k}| é precisamente a distância \overline{A_{1}A_{k+1}}, obtemos