(OLIMPÍADA RUSSA) Seja n>2 um inteiro positivo. Prove que:
\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi}{n}\right) \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{n}\right) \cdot \ldots \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{(n-1) \pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}} .

Passo 1

O enunciado dá um inteiro n>2 e pede para provar a igualdade
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\cdot\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\cdots\operatorname{sen}\!\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • O produto é sobre os termos \operatorname{sen}\!\big(\tfrac{k\pi}{n}\big) para k=1,2,\dots,n-1.
  • Queremos mostrar que esse produto vale \dfrac{n}{2^{n-1}}.

Passo 2

Vamos usar os n-ésimos raízes da unidade complexas. Defina
\omega = e^{2\pi i / n}.
Isso significa que \omega^n=1 e que as raízes de z^n-1=0 são 1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}. Pelo teorema fundamental da álgebra (ou fatoração padrão), temos a fatoração polinomial
x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\big(x-\omega^k\big).
Essa é apenas a afirmação de que um polinômio de grau n com essas n raízes se escreve como produto dos factores lineares correspondentes.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por x-1 (que corresponde a retirar a raiz x=1) obtemos
\frac{x^n-1}{x-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\big(x-\omega^k\big).
No lado esquerdo podemos usar a soma geométrica:
\frac{x^n-1}{x-1}=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}.
Substituindo x=1 nessa expressão dá diretamente
\frac{1^n-1}{1-1}=\lim_{x\to1}\frac{x^n-1}{x-1}=1+1+\cdots+1=n.
Logo, avaliando a fatoração em x=1 temos a igualdade (interpretando a divisão como limite ou usando a soma geométrica):
\prod_{k=1}^{n-1}\big(1-\omega^k\big)=n.

Passo 4

Tire o módulo (valor absoluto) de ambos os lados. Usando que o módulo de um produto é o produto dos módulos,
n=\left|\prod_{k=1}^{n-1}\big(1-\omega^k\big)\right|=\prod_{k=1}^{n-1}\big|1-\omega^k\big|.

Passo 5

Calcule agora cada termo \big|1-\omega^k\big|. Escrevendo \omega^k=e^{2\pi i k/n}=\cos\!\left(\tfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\!\left(\tfrac{2\pi k}{n}\right), temos
\big|1-\omega^k\big|^2=\big(1-\cos\!\tfrac{2\pi k}{n}\big)^2+\big(-\sin\!\tfrac{2\pi k}{n}\big)^2 =2-2\cos\!\tfrac{2\pi k}{n}.
Usando a identidade trigonométrica 1-\cos\theta=2\sin^2(\tfrac{\theta}{2}) obtemos
\big|1-\omega^k\big|^2=4\sin^2\!\left(\frac{\pi k}{n}\right),
portanto, como \sin\!\left(\tfrac{\pi k}{n}\right)>0 para k=1,\dots,n-1,
\big|1-\omega^k\big|=2\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right).

Passo 6

Substitua essa expressão no produto do Passo 4:
n=\prod_{k=1}^{n-1}\big|1-\omega^k\big|=\prod_{k=1}^{n-1}2\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right) =2^{\,n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right).
Isolando o produto de senos vem exatamente a identidade desejada:
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{n}{2^{\,n-1}}.

Passo 7

Exemplo rápido para ganhar confiança: escolha n=3. Então a fórmula prevê
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3}{2^{2}}.
Como \sin\!\tfrac{\pi}{3}=\sin\!\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, o produto é \tfrac{3}{4}, que coincide com \tfrac{3}{4}. Bom sinal de que a fórmula está certa.

Resposta

\dfrac{n}{2^{n-1}}

Exercícios relacionados