O produto é sobre os termos \operatorname{sen}\!\big(\tfrac{k\pi}{n}\big) para k=1,2,\dots,n-1.
Queremos mostrar que esse produto vale \dfrac{n}{2^{n-1}}.
Passo 2
Vamos usar os n-ésimos raízes da unidade complexas. Defina
\omega = e^{2\pi i / n}.
Isso significa que \omega^n=1 e que as raízes de z^n-1=0 são 1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}. Pelo teorema fundamental da álgebra (ou fatoração padrão), temos a fatoração polinomial
x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\big(x-\omega^k\big).
Essa é apenas a afirmação de que um polinômio de grau n com essas n raízes se escreve como produto dos factores lineares correspondentes.
Passo 3
Dividindo ambos os lados por x-1 (que corresponde a retirar a raiz x=1) obtemos
Calcule agora cada termo \big|1-\omega^k\big|. Escrevendo \omega^k=e^{2\pi i k/n}=\cos\!\left(\tfrac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\!\left(\tfrac{2\pi k}{n}\right), temos
Como \sin\!\tfrac{\pi}{3}=\sin\!\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, o produto é \tfrac{3}{4}, que coincide com \tfrac{3}{4}. Bom sinal de que a fórmula está certa.