Observe atentamente a seguinte disposição dos números naturais ímpares.
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
(a) Quantos números haverá na n-ésima linha?
(b) Determine o primeiro e o último termo da n-ésima linha.
(c) Prove que a soma dos termos da
-ésima linha é igual a
.
(d) Observando a soma dos termos de cada linha podemos calcular a soma
como a soma dos termos de uma P.A. Qual é o valor dessa soma?
1 | ||||
3 | 5 | |||
7 | 9 | 11 | ||
13 | 15 | 17 | 19 | |
21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
|
||||
|
(b) Determine o primeiro e o último termo da n-ésima linha.
(c) Prove que a soma dos termos da
(d) Observando a soma dos termos de cada linha podemos calcular a soma
Passo 1
O enunciado apresenta uma tabela triangular com números ímpares dispostos em linhas de tamanho crescente. Vamos usar conceitos de progressão aritmética e soma de termos para responder:
(a) quantos termos tem a n-ésima linha;
(b) qual o primeiro e o último termo dessa linha;
(c) provar que a soma desses termos é ;
(d) calcular observando que a tabela reúne as primeiras
números ímpares, que formam uma PA de razão 2.
(a) quantos termos tem a n-ésima linha;
(b) qual o primeiro e o último termo dessa linha;
(c) provar que a soma desses termos é
(d) calcular
Passo 2
Para (a), note que a 1.ª linha tem 1 termo, a 2.ª tem 2, a 3.ª tem 3, etc. Logo, a n-ésima linha tem exatamente
termos.
Passo 3
Para (b), o número de termos antes da n-ésima linha é
Assim o índice do primeiro termo na lista de ímpares é
Como o
-ésimo ímpar é
, o primeiro termo vale
O índice do último termo é
logo o último termo é
Passo 4
Para (c), a n-ésima linha é uma PA de primeiro termo
, último termo
e
termos. A soma dessa PA é
Passo 5
Para (d), como
são justamente as somas de cada linha, somar
equivale a somar todos os ímpares até a n-ésima linha. São
termos de uma PA de primeiro termo 1 e razão 2. A soma dessa PA é
Resposta
(a)
(b) primeiro termo , último termo
(c)
(d)
(b) primeiro termo
(c)
(d)