Observe atentamente a seguinte disposição dos números naturais ímpares.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
\ldots
\vdots
(a) Quantos números haverá na n-ésima linha?
(b) Determine o primeiro e o último termo da n-ésima linha.
(c) Prove que a soma dos termos da n-ésima linha é igual a n^{3}.
(d) Observando a soma dos termos de cada linha podemos calcular a soma 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3} como a soma dos termos de uma P.A. Qual é o valor dessa soma?

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela triangular com números ímpares dispostos em linhas de tamanho crescente. Vamos usar conceitos de progressão aritmética e soma de termos para responder:
(a) quantos termos tem a n-ésima linha;
(b) qual o primeiro e o último termo dessa linha;
(c) provar que a soma desses termos é n^3;
(d) calcular 1^3+2^3+\cdots+n^3 observando que a tabela reúne as primeiras \tfrac{n(n+1)}2 números ímpares, que formam uma PA de razão 2.

Passo 2

Para (a), note que a 1.ª linha tem 1 termo, a 2.ª tem 2, a 3.ª tem 3, etc. Logo, a n-ésima linha tem exatamente n termos.

Passo 3

Para (b), o número de termos antes da n-ésima linha é
1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1)n}2.
Assim o índice do primeiro termo na lista de ímpares é
\frac{(n-1)n}2+1.
Como o k-ésimo ímpar é 2k-1, o primeiro termo vale
2\Bigl(\frac{(n-1)n}2+1\Bigr)-1=n^2-n+1.
O índice do último termo é
1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2,
logo o último termo é
2\Bigl(\frac{n(n+1)}2\Bigr)-1=n^2+n-1.

Passo 4

Para (c), a n-ésima linha é uma PA de primeiro termo a_1=n^2-n+1, último termo a_n=n^2+n-1 e n termos. A soma dessa PA é
S_n = n\;\frac{a_1+a_n}2 = n\;\frac{\bigl(n^2-n+1\bigr)+\bigl(n^2+n-1\bigr)}2 = n\;\frac{2n^2}2 = n^3.

Passo 5

Para (d), como 1^3,2^3,\dots,n^3 são justamente as somas de cada linha, somar 1^3+2^3+\cdots+n^3 equivale a somar todos os ímpares até a n-ésima linha. São
N=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2
termos de uma PA de primeiro termo 1 e razão 2. A soma dessa PA é
\frac{N}2\bigl(1+(2N-1)\bigr) =\frac{N}2\cdot2N =N^2 =\Bigl(\tfrac{n(n+1)}2\Bigr)^{\!2}.

Resposta

(a) n
(b) primeiro termo n^2-n+1, último termo n^2+n-1
(c) n^3
(d) \displaystyle1^3+2^3+\cdots+n^3=\bigl(\tfrac{n(n+1)}2\bigr)^{2}

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