Considere o sistema linear , onde é uma matriz e vetores colunas . Verifique calculando os menores principais de se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema a partir da decomposição LU sabendo que
A=[lll2 & 0 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 3]
Passo 1
O problema é resolver o sistema linear
A x = b,
onde
A = 2 & 0 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 3 , b = 123
O conteúdo aqui é “Decomposição LU” e “Substituição progressiva e regressiva”. Para começar vamos ver se a decomposição LU sem pivô existe (checando os menores principais) e depois montar e e usar essas matrizes pra achar .
Passo 2
Teoria dos menores principais: se todos os determinantes dos blocos superiores da matriz det2&00&2 =2cdot2 - 0 = 4neq0 (isto é, os menores principais) forem não nulos, existe decomposição det A =2det2&11&3 -0+;1det0&21&1 =2(2cdot3-1cdot1) +1(0-2) =2cdot5 -2 =8neq0 sem permutar linhas.
Menor de ordem 1: .
Menor de ordem 2 (top-left):
Menor de ordem 3 (a própria ):
Como todos são não nulos, LU existe sem pivô.
Passo 3
Vamos achar A = 2 & 0 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 3 = underbrace 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 L ; underbrace u11&u12&u13 0&u22&u23 0&0&u33 U (com diagonal 1) e L= 1&0&0 0&1&0 tfrac12&tfrac12&1 , U= 2&0&1 0&2&1 0&0&2 (triangular superior) pelo método de Doolittle:
Escrevemos
[
A =