Considere o sistema linear A x=b, onde A é uma matriz n times n, x e b vetores colunas n times 1. Verifique calculando os menores principais de A se esta matriz admite uma decomposição LU. No caso de resposta afirmativa, encontre a solução do sistema A x=b a partir da decomposição LU sabendo que
b=[l 1 2 3 ] para os itens (i) a (v) e b=[l 1 2 3 4 ] para o item (vi)
A=[lll2 & 0 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 3]

Passo 1

O problema é resolver o sistema linear
A x = b,
onde
A = 2 & 0 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 3 , b = 123
O conteúdo aqui é “Decomposição LU” e “Substituição progressiva e regressiva”. Para começar vamos ver se a decomposição LU sem pivô existe (checando os menores principais) e depois montar e e usar essas matrizes pra achar .

Passo 2

Teoria dos menores principais: se todos os determinantes dos blocos superiores da matriz det2&00&2 =2cdot2 - 0 = 4neq0 (isto é, os menores principais) forem não nulos, existe decomposição det A =2det2&11&3 -0+;1det0&21&1 =2(2cdot3-1cdot1) +1(0-2) =2cdot5 -2 =8neq0 sem permutar linhas.
  1. Menor de ordem 1:
    .
  2. Menor de ordem 2 (top-left):
  1. Menor de ordem 3 (a própria ):
Como todos são não nulos, LU existe sem pivô.

Passo 3

Vamos achar A = 2 & 0 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 3 = underbrace 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 L ; underbrace u11&u12&u13 0&u22&u23 0&0&u33 U (com diagonal 1) e L= 1&0&0 0&1&0 tfrac12&tfrac12&1 , U= 2&0&1 0&2&1 0&0&2 (triangular superior) pelo método de Doolittle:
Escrevemos
[
A =

\underbrace{ }{L}
;
\underbrace{ }
{U}.
]
Passo a passo:
  • Linha 1 de :
  • Coluna 1 de :
  • ½½
  • Finalmente ½½
Logo

Passo 4

Agora resolvemos y1 = b1 = 1, y2 = b2 - ell21y1 = 2 - 0 = 2, y3 = b3 - ell31y1 - ell32y2 = 3 - tfrac12cdot1 - tfrac12cdot2 = 3 - 0.5 -1 = 1.5 (substituição progressiva):
Logo .

Passo 5

Agora 2x1 + 0cdot x2 +1cdot x3 = 1, 0cdot x1 +2x2 +1cdot x3 = 2, 0 +0 +2x3 = 1.5 (substituição regressiva):
Da última:
Na segunda:
Na primeira:

Resposta

x = x1x2x3 = 1/85/83/4

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