A soma dos números a, b e c é divisível por 30. Prove que a^{5}+b^{5}+c^{5} também é divisível por 30 .

Passo 1

O enunciado diz que a+b+c é múltiplo de 30, ou seja,
a+b+c\equiv 0\pmod{30}.
Como 30 tem fatores primos 2, 3 e 5, basta mostrar que
a^5+b^5+c^5\equiv 0
modulo 2, 3 e 5.

Passo 2

Verificação módulo 2. Se a+b+c\equiv 0\pmod{2}, então a soma é par. Mas para qualquer inteiro x vale
x^5\equiv x\pmod{2}
pois 0^5=0 e 1^5=1. Logo
a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\equiv 0\pmod{2}.

Passo 3

Verificação módulo 3. Pelo pequeno teorema de Fermat temos para todo inteiro x x^3\equiv x\pmod{3}.
Multiplicando ambos os lados por x^2 vem
x^5 = x^3\cdot x^2\equiv x\cdot x^2 = x^3\equiv x\pmod{3}.
Logo
a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\equiv 0\pmod{3}.

Passo 4

Verificação módulo 5. Pelo pequeno teorema de Fermat vale
x^5\equiv x\pmod{5}
para todo inteiro x. Assim
a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\equiv 0\pmod{5}.

Passo 5

Concluímos que
a^5+b^5+c^5
é múltiplo de 2, de 3 e de 5. Como 2, 3 e 5 são primos distintos, a soma é múltipla de
\mathrm{lcm}(2,3,5)=30.

Resposta

a^5+b^5+c^5 é divisível por 30.

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