1. Seja os números complexos z_{1}, z_{2} e z_{3} raízes do polinômio P(z)=z^{3}-5 z^{2}+8 z-6. Seja V o volume do sólido obtido quando a região triangular cujos vértices são os pontos z_{1}, z_{2} e z_{3} gira em torno da reta de equação x=1, então o valor de \left(\frac{3 V}{\pi}\right) é igual a:
    A) 1
    B) 2
    C) 4
    D) 8
    E) 12

Passo 1

O enunciado dá:
  • Os números complexos z_{1}, z_{2}, z_{3} são as raízes do polinômio P(z)=z^{3}-5 z^{2}+8 z-6.
  • A região triangular em questão tem vértices nos pontos z_{1},z_{2},z_{3} no plano complexo (plano xy).
  • Essa região gira em torno da reta de equação x=1.
    O que se pede:
  • Calcular o valor de \left(\dfrac{3V}{\pi}\right), onde V é o volume do sólido gerado pela rotação descrita.

Passo 2

Vamos encontrar as raízes do polinômio. Pela regra de raízes racionais possíveis, testamos z=1,2,3,\dots.
Calcule P(3):
P(3)=3^{3}-5\cdot3^{2}+8\cdot3-6=27-45+24-6=0.
Portanto z=3 é uma raiz. Fazendo a divisão de P(z) por (z-3) obtemos o quociente quadrático. A divisão dá
P(z)=(z-3)(z^{2}-2z+2).
Agora resolvemos z^{2}-2z+2=0. As raízes dessa quadrática são
z=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.

Passo 3

Portanto as três raízes são
z_{1}=3,\qquad z_{2}=1+i,\qquad z_{3}=1-i.
Como pontos no plano (x,y) isso corresponde a:
  • z_{1}\leftrightarrow (3,0),
  • z_{2}\leftrightarrow (1,1),
  • z_{3}\leftrightarrow (1,-1).

Passo 4

Explicar o método para o volume: usaremos o Teorema de Pappus (segundo teorema de Pappus):
  • Se uma região plana de área A gira em torno de uma reta do mesmo plano que não a intercepta, o volume gerado é o produto da área A pelo comprimento da trajetória descrita pelo centróide da região.
  • A trajetória do centróide é um círculo de raio igual à distância d do centróide à reta de rotação, portanto o comprimento é 2\pi d.
    Logo
V = A \cdot (2\pi d).
Aqui A é a área do triângulo e d é a distância do centróide do triângulo até a reta x=1.

Passo 5

Calcular o centróide do triângulo (coordenada x do centróide). O centróide de um triângulo tem coordenadas dadas pela média das coordenadas dos vértices; assim a coordenada x do centróide é
x_{\text{c}}=\frac{3+1+1}{3}=\frac{5}{3}.
(Observação: isto também vem de Viète, já que z_{1}+z_{2}+z_{3}=5.)
A distância d do centróide à reta x=1 é o valor absoluto da diferença entre x_{\text{c}} e 1:
d=\left|\frac{5}{3}-1\right|=\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}.

Passo 6

Calcular a área A do triângulo com vértices (3,0), (1,1), (1,-1).
Observação geométrica simples: o segmento entre (1,1) e (1,-1) é a base vertical do triângulo e tem comprimento
\text{base}=2.
A distância horizontal (altura) desse segmento até o vértice (3,0) é
\text{altura}=3-1=2.
Portanto a área do triângulo é
A=\frac{1}{2}\cdot(\text{base})\cdot(\text{altura})=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2.

Passo 7

Agora aplicamos Pappus:
V = A\cdot 2\pi d = 2\cdot 2\pi\cdot\frac{2}{3} = \frac{8\pi}{3}.

Passo 8

Finalmente calculamos \left(\dfrac{3V}{\pi}\right):
\frac{3V}{\pi}=\frac{3}{\pi}\cdot\frac{8\pi}{3}=8.

Resposta

(D) 8

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