Seja os números complexos z_{1}, z_{2} e z_{3} raízes do polinômio P(z)=z^{3}-5 z^{2}+8 z-6. Seja V o volume do sólido obtido quando a região triangular cujos vértices são os pontos z_{1}, z_{2} e z_{3} gira em torno da reta de equação x=1, então o valor de \left(\frac{3 V}{\pi}\right) é igual a:
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 12
Passo 1
O enunciado dá:
Os números complexos z_{1}, z_{2}, z_{3} são as raízes do polinômio P(z)=z^{3}-5 z^{2}+8 z-6.
A região triangular em questão tem vértices nos pontos z_{1},z_{2},z_{3} no plano complexo (plano xy).
Essa região gira em torno da reta de equação x=1.
O que se pede:
Calcular o valor de \left(\dfrac{3V}{\pi}\right), onde V é o volume do sólido gerado pela rotação descrita.
Passo 2
Vamos encontrar as raízes do polinômio. Pela regra de raízes racionais possíveis, testamos z=1,2,3,\dots.
Calcule P(3):
P(3)=3^{3}-5\cdot3^{2}+8\cdot3-6=27-45+24-6=0.
Portanto z=3 é uma raiz. Fazendo a divisão de P(z) por (z-3) obtemos o quociente quadrático. A divisão dá
P(z)=(z-3)(z^{2}-2z+2).
Agora resolvemos z^{2}-2z+2=0. As raízes dessa quadrática são
z=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm i.
Passo 3
Portanto as três raízes são
z_{1}=3,\qquad z_{2}=1+i,\qquad z_{3}=1-i.
Como pontos no plano (x,y) isso corresponde a:
z_{1}\leftrightarrow (3,0),
z_{2}\leftrightarrow (1,1),
z_{3}\leftrightarrow (1,-1).
Passo 4
Explicar o método para o volume: usaremos o Teorema de Pappus (segundo teorema de Pappus):
Se uma região plana de área A gira em torno de uma reta do mesmo plano que não a intercepta, o volume gerado é o produto da área A pelo comprimento da trajetória descrita pelo centróide da região.
A trajetória do centróide é um círculo de raio igual à distância d do centróide à reta de rotação, portanto o comprimento é 2\pi d.
Logo
V = A \cdot (2\pi d).
Aqui A é a área do triângulo e d é a distância do centróide do triângulo até a reta x=1.
Passo 5
Calcular o centróide do triângulo (coordenada x do centróide). O centróide de um triângulo tem coordenadas dadas pela média das coordenadas dos vértices; assim a coordenada x do centróide é
x_{\text{c}}=\frac{3+1+1}{3}=\frac{5}{3}.
(Observação: isto também vem de Viète, já que z_{1}+z_{2}+z_{3}=5.)
A distância d do centróide à reta x=1 é o valor absoluto da diferença entre x_{\text{c}} e 1: