1. Seja
\frac{1-i+\frac{1}{1+i+\frac{1}{1-i+\frac{1}{\vdots}}}}{1+i+\frac{1}{1-i+\frac{1}{1+i+\frac{1}{1-i+\frac{1}{\vdots}}}}}
Então, o valor de |z+1| é igual a:
A) 1
B) \sqrt{2}
C) 2
D) 3
E) \sqrt{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado dá uma expressão infinita em forma de fração contínua (peguei a expressão do enunciado):
z=\frac{1-i+\frac{1}{1+i+\frac{1}{1-i+\frac{1}{\vdots}}}}{1+i+\frac{1}{1-i+\frac{1}{1+i+\frac{1}{1-i+\frac{1}{\vdots}}}}}.
  • A pergunta é: qual é o valor de |z+1|? As alternativas são:
    A) 1
    B) \sqrt{2}
    C) 2
    D) 3
    E) \sqrt{3}.
Nada mais será usado além dessa expressão periódica e da definição de módulo de número complexo.

Passo 2

Observação sobre a estrutura periódica (explicação didática): a expressão é periódica, ela alterna entre os blocos iniciados por 1-i e por 1+i. Para aproveitar essa periodicidade é comum chamar de a o valor do bloco que começa em 1-i e de b o valor do bloco que começa em 1+i. Isso transforma a continuação infinita em um sistema de equações fechadas, porque a parte que segue um bloco é exatamente o outro bloco.
Definimos, portanto:
a = 1-i+\frac{1}{1+i+\dfrac{1}{1-i+\dfrac{1}{\vdots}}} \qquad\text{e}\qquad b = 1+i+\frac{1}{1-i+\dfrac{1}{1+i+\dfrac{1}{\vdots}}}.
Note que, pela definição, o numerador da fração original é exatamente a e o denominador é exatamente b, logo
z=\frac{a}{b}.

Passo 3

Agora escrevemos as equações que a e b satisfazem, usando a auto-referência da fração contínua:
  • A partir da definição de a vemos que a parte após 1-i é 1/b. Então
a = 1-i+\frac{1}{b}.
  • De forma análoga, a parte após 1+i em b é 1/a. Então
b = 1+i+\frac{1}{a}.
Essas duas equações são o ponto de partida para eliminar as frações e encontrar uma relação entre a e b.

Passo 4

Eliminando as frações: multiplico cada equação pelo denominador correspondente para ficar sem frações.
Da primeira:
a = 1-i+\frac{1}{b} \quad\Rightarrow\quad ab = b(1-i)+1 \quad\Rightarrow\quad ab - b(1-i) = 1.
Da segunda:
b = 1+i+\frac{1}{a} \quad\Rightarrow\quad ab = a(1+i)+1 \quad\Rightarrow\quad ab - a(1+i) = 1.
Agora subtraio as duas equações (a primeira menos a segunda) para eliminar o termo ab:
\big(ab - b(1-i)\big) - \big(ab - a(1+i)\big) = 1 - 1 = 0.
Isso dá
- b(1-i) + a(1+i) = 0,
ou rearranjando,
a(1+i) = b(1-i).

Passo 5

Da relação a(1+i)=b(1-i) deduzimos diretamente o quociente z=\dfrac{a}{b}:
\frac{a}{b} = \frac{1-i}{1+i}.
Portanto
z=\frac{1-i}{1+i}.
Agora simplificamos essa fração complexa usando o truque do conjugado (explicação didática: para simplificar um quociente entre complexos multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador para tornar o denominador real). Multiplico numerador e denominador por 1-i (o conjugado de 1+i):
z=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{(1-i)^2}{1^2 - i^2}.
Calculo passo a passo:
(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i -1 = -2i,
1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2.
Logo
z=\frac{-2i}{2} = -i.

Passo 6

Agora calculamos |z+1|. Substituindo z=-i,
z+1 = 1 - i.
Recordando a definição de módulo de um número complexo (explicação didática): para x+iy tem-se |x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}. Aqui 1-i tem parte real 1 e parte imaginária -1, então
|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.
Portanto o valor pedido é \sqrt{2}.

Resposta

B) \sqrt{2}

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