- Seja
Então, o valor de
é igual a:
A) 1
B)
C) 2
D) 3
E)
A) 1
B)
C) 2
D) 3
E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado dá uma expressão infinita em forma de fração contínua (peguei a expressão do enunciado):
- A pergunta é: qual é o valor de
? As alternativas são:
A)
B)
C)
D)
E).
Nada mais será usado além dessa expressão periódica e da definição de módulo de número complexo.
Passo 2
Observação sobre a estrutura periódica (explicação didática): a expressão é periódica, ela alterna entre os blocos iniciados por
e por
. Para aproveitar essa periodicidade é comum chamar de
o valor do bloco que começa em
e de
o valor do bloco que começa em
. Isso transforma a continuação infinita em um sistema de equações fechadas, porque a parte que segue um bloco é exatamente o outro bloco.
Definimos, portanto:
Note que, pela definição, o numerador da fração original é exatamente
e o denominador é exatamente
, logo
Passo 3
Agora escrevemos as equações que
e
satisfazem, usando a auto-referência da fração contínua:
- A partir da definição de
vemos que a parte após é . Então
- De forma análoga, a parte após
em é . Então
Essas duas equações são o ponto de partida para eliminar as frações e encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Eliminando as frações: multiplico cada equação pelo denominador correspondente para ficar sem frações.
Da primeira:
Da segunda:
Agora subtraio as duas equações (a primeira menos a segunda) para eliminar o termo
:
Isso dá
ou rearranjando,
Passo 5
Da relação
deduzimos diretamente o quociente
:
Portanto
Agora simplificamos essa fração complexa usando o truque do conjugado (explicação didática: para simplificar um quociente entre complexos multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador para tornar o denominador real). Multiplico numerador e denominador por
(o conjugado de
):
Calculo passo a passo:
Logo
Passo 6
Agora calculamos
. Substituindo
,
Recordando a definição de módulo de um número complexo (explicação didática): para
tem-se
. Aqui
tem parte real
e parte imaginária
, então
Portanto o valor pedido é
.
Resposta
B)