Seja P o conjunto de todas as pessoas (mortas ou vivas).
Seja
tal que
é a mãe biológica de
.
Tem-se que fazer suposições biológicas razoáveis para considerar
uma função bem definida:
i) todo mundo tem uma mãe biológica (por exemplo, nenhum clone) e,
ii) nenhuma pessoa pode ter duas mães biológicas diferentes.
A função m é sobrejetora? Justifique. Ela é injetora? Justifique.
Seja
Tem-se que fazer suposições biológicas razoáveis para considerar
i) todo mundo tem uma mãe biológica (por exemplo, nenhum clone) e,
ii) nenhuma pessoa pode ter duas mães biológicas diferentes.
A função m é sobrejetora? Justifique. Ela é injetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um conjunto P que representa todas as pessoas, vivas ou mortas. Temos uma função $ m: P \rightarrow P $ onde $ m(x) $ é a mãe biológica de $ x $. Precisamos verificar se essa função é sobrejetora e se é injetora. Para resolver isso, vamos lembrar o que significam ser sobrejetora e injetora e aplicar esses conceitos à função $ m $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada tem pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele. No nosso caso, isso quer dizer que toda pessoa $ y $ em P é a mãe biológica de pelo menos uma pessoa $ x $ em P.
Passo 3
Agora, pensando na função $ m $, se uma pessoa teve filhos, então ela é a mãe biológica de pelo menos uma pessoa, o que satisfaz a condição de sobrejetividade. Porém, se existir alguma pessoa que nunca foi mãe, ou seja, não tem nenhum $ x $ tal que $ m(x) = y $, então a função não é sobrejetora.
Passo 4
Considerando a biologia humana real, nem toda pessoa é mãe. Existem pessoas que, por diversas razões, nunca tiveram filhos. Portanto, nem todo elemento em P terá uma imagem em $ m $, o que significa que a função $ m $ não é sobrejetora.
Passo 5
Agora, vamos ver se a função $ m $ é injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes no conjunto de partida mapeiam para elementos diferentes no conjunto de chegada. Em outras palavras, se $ m(x_1) = m(x_2) $ implica que $ x_1 = x_2 $.
Passo 6
Pensando na realidade, uma mãe pode ter vários filhos. Ou seja, pode existir mais de uma pessoa $ x $ que tem a mesma mãe $ y $. Assim, temos $ m(x_1) = m(x_2) = y $ mesmo que $ x_1 \neq x_2 $. Isso mostra que a função não é injetora.
Resposta
A função $ m $ não é sobrejetora porque nem toda pessoa tem filhos, e não é injetora porque uma mesma mãe pode ter vários filhos.