Defina f: R R por f(x)=x^n, em que n é um inteiro positivo fixo. Para que valores de n a função f é bijetora?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por $ f(x) = x^{n} $, onde $ n $ é um número inteiro positivo fixo. Queremos descobrir para quais valores de $ n $ essa função é bijetora.
Bijetora significa que a função é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar quando a função $ f(x) = x^{n} $ é injetora. Para uma função ser injetora, ela não pode mapear dois valores diferentes de $ x $ para o mesmo valor de $ f(x) $.
  • Se $ n $ for ímpar, por exemplo, $ n = 3 $:
    • $ f(2) = 8 $
    • $ f(-2) = -8 $
    • Aqui, valores positivos e negativos de $ x $ resultam em valores distintos de $ f(x) $. Então, a função é injetora.
  • Se $ n $ for par, por exemplo, $ n = 2 $:
    • $ f(2) = 4 $
    • $ f(-2) = 4 $
    • Neste caso, $ f(2) = f(-2) $, então a função não é injetora.
Então, a função $ f(x) = x^{n} $ é injetora somente quando $ n $ é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos verificar a parte da sobrejetividade. Para a função ser sobrejetora, todo valor real $ y $ no contradomínio $ \mathbb{R} $ deve ser atingido por algum $ x $ no domínio $ \mathbb{R} $.
  • Se $ n $ for ímpar:
    • Para qualquer $ y $ real, existe um $ x $ real tal que $ x^{n} = y $. Por exemplo, se $ y = -8 $, então $ x = -2 $ satisfaz $ (-2)^{3} = -8 $.
    • Portanto, a função é sobrejetora.
  • Se $ n $ for par:
    • Apenas valores não negativos de $ y $ podem ser atingidos, já que $ x^{n} $ será sempre positivo ou zero.
    • Valores negativos de $ y $ não são atingidos, o que significa que a função não é sobrejetora.
Portanto, a função $ f(x) = x^{n} $ é sobrejetora somente quando $ n $ é ímpar.

Resposta

A função $ f(x) = x^{n} $ é bijetora quando $ n $ é um número inteiro positivo ímpar.

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