Resolva a relação de recorrência
a_{n}=7 a_{n-1}-12 a_{n-2}
dados a_{0}=1 e a_{1}=7 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência homogênea de segunda ordem
a_{n}=7\,a_{n-1}-12\,a_{n-2}
com condições iniciais a_{0}=1 e a_{1}=\tfrac{7}{2}.
Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^{2}-7r+12=0.
Resolvendo em r, obtemos as raízes
r_{1}=3,\quad r_{2}=4.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é
a_{n}=A\cdot 3^{n}+B\cdot 4^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicando n=0 e n=1:
A+B= a_{0}=1,
3A+4B= a_{1}=\tfrac{7}{2}.
Da primeira equação A=1-B. Substituindo na segunda:
3(1-B)+4B=\tfrac{7}{2}\quad\Longrightarrow\quad 3 + B=\tfrac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad B=\tfrac{1}{2},
logo A=1-\tfrac12=\tfrac12.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, temos
a_{n}=\tfrac12\cdot 3^{n}+\tfrac12\cdot 4^{n} =\frac{3^{n}+4^{n}}{2}.

Resposta

a_{n}=\frac{3^{n}+4^{n}}{2}.

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