Seja p um número primo da forma 4 k+3. Sejam a e b inteiros tais que a^{2}+b^{2} é divisível por p. Prove que a \mathrm{e} b são divisíveis por p.

Passo 1

O enunciado diz que p é primo congruente a 3\pmod4 (ou seja, p=4k+3) e que p\mid(a^2+b^2). Queremos mostrar que isso força p\mid a e p\mid b. O conteúdo usado será teoria de resíduos quadráticos em \mathbb{F}_p e, em particular, o critério de Euler para -1.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que p não divide nem a nem b. Então em \mathbb{F}_p ambas as classes \bar a e \bar b são invertíveis, e da hipótese
a^2+b^2\equiv0\pmod p
segue
\bigl(a\,b^{-1}\bigr)^2\equiv -1\pmod p.
Isto mostra que -1 seria um quadrado em \mathbb{F}_p. Mas o critério de Euler afirma que, para primo ímpar p,
\bigl(\tfrac{-1}{p}\bigr)\;=\;(-1)^{\frac{p-1}2}\,,
onde \bigl(\tfrac{-1}{p}\bigr)=1 se e somente se -1 for um quadrado. Como p=4k+3 faz \tfrac{p-1}2=2k+1 ímpar, temos
(-1)^{\frac{p-1}2}=(-1)^{2k+1}=-1,
logo \bigl(\tfrac{-1}{p}\bigr)=-1. Contradição com a conclusão de que -1 seria quadrado.

Passo 3

Da contradição concluímos que não é possível ter simultaneamente p\nmid a e p\nmid b. Assim, p divide pelo menos um deles. Sem perda de generalidade, suponha p\mid a. Então da condição
p\mid(a^2+b^2)
vem p\mid b^2, ou seja, p\mid b. Portanto p divide a e b.

Resposta

Ficou demonstrado que, se p=4k+3 divide a^2+b^2, então necessariamente p\mid a e p\mid b.

Exercícios relacionados