Quando a interpolação de Newton é preferível à interpolação de Lagrange?
a) Quando se deseja uma interpolação mais eficiente em termos computacionais.
b) Quando se deseja uma única fórmula interpoladora.
c) Quando se deseja evitar oscilações no polinômio interpolador. x
d) Quando se deseja adicionar facilmente novos pontos de dados à interpolação.
e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta: “Quando a interpolação de Newton é preferível à interpolação de Lagrange?”
Matéria: interpolação polinomial (forma de Lagrange vs. forma de Newton).
O que a gente precisa saber:
  • Como é cada fórmula (Lagrange e Newton).
  • Quais as vantagens de cada uma, especialmente em termos de computação e atualização de pontos.

Passo 2

Primeiro, lembra da forma de Lagrange:
P(x)=sumi=0^n yi,elli(x), elli(x)=prodsubstackj=0jneq i^nx-xjxi-xj
Cada base elli(x) envolve produto sobre todos os nós menos o i-ésimo. Se você quiser adicionar um novo ponto (xn+1,yn+1), tem que recalcular tudo: todos os produtos elli(x) mudam, então refaz todo o somatório.

Passo 3

Agora, a forma de Newton usa diferenças divididas. O polinômio fica assim:
P(x)=a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + cdots + anprodj=0^n-1(x-xj),
onde
a0 = f[x0], a1 = f[x0,x1], a2 = f[x0,x1,x2],;dots
e
f[xi,dots,xi+k] = f[xi+1,dots,xi+k] - f[xi,dots,xi+k-1]xi+k-xi
Cada ai é uma diferença dividida. O pulo do gato: se eu quero adicionar um ponto (xn+1,yn+1), basta calcular a nova diferença dividida an+1=f[x0,dots,xn+1] e acrescentar o termo
an+1prodj=0^n(x-xj)
sem mexer em nada do que já fiz.

Passo 4

Vamos olhar as alternativas:
a) eficiência computacional – ok, Newton é até mais rápido que Lagrange, mas não é o principal motivo destacado.
b) única fórmula interpoladora – isso até combina mais com Lagrange (uma só soma com elli).
c) evitar oscilações – isso é mais questão de escolha de nós (chebyshev etc.), não do formato Lagrange vs. Newton.
d) adicionar facilmente novos pontos – bingo! É exatamente aí que Newton brilha: basta uma diferença dividida e um termo a mais.
e) não sei – sem chance.

Resposta

A opção correta é a d).

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