Utilize o método da Bissecção para determinar as soluções com precisão de 10^-5 para os problemas a seguir.
e^x-x^2+3 x-2=0 para 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a raiz da equação
e^x - x^2 + 3x - 2 = 0
no intervalo [0,1], usando o método da bissecção com precisão de 10^-5.
Conteúdo: método numérico de busca de raízes (bissecção).
O que precisamos:
- Saber definir a função f(x)=e^x - x^2 +3x -2.
- Verificar que f muda de sinal em [0,1] (teorema do valor intermediário).
- Iterar dividindo o intervalo ao meio até a largura ser menor que 2cdot10^-5 (critério de parada pra garantir erro abaixo de 10^-5).

Passo 2

Definindo f(x)=e^x - x^2 +3x -2.
Vamos checar os extremos:
  • f(0)=e^0 - 0 + 0 -2 = 1 - 2 = -1.
  • f(1)=e^1 -1 +3 -2 = e +0 approx 2,718 > 0.
    Como f(0)cdot f(1)<0, sabemos que existe pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

Como o sinal de f muda no intervalo, aplicamos bissecção:
  1. Dados a=0, b=1, definimos m=(a+b)/2.
  2. Avaliamos f(m).
  3. Substituímos a ou b por m, dependendo de onde o sinal muda:
    • Se f(a),f(m)<0, então a raiz está em [a,m].
    • Senão, está em [m,b].
  4. Repetimos até que b-a < 2cdot10^-5.
    Isso garante que o erro máximo na raiz seja menor que (b-a)/2 <10^-5.

Passo 4

Vamos ver algumas iterações (aproximações em cinco casas decimais):
  1. a=0, b=1, m=0,5, f(0,5)approx0,8987>0 ⇒ novo intervalo [0,0,5].
  2. a=0, b=0,5, m=0,25, f(0,25)approx-0,0285<0 [0,25,0,5].
  3. a=0,25, b=0,5, m=0,375, f(0,375)approx0,4394>0 [0,25,0,375].
  4. a=0,25, b=0,375, m=0,3125, f(0,3125)approx0,2066>0 [0,25,0,3125].
  5. a=0,25, b=0,3125, m=0,28125, f(0,28125)approx0,0893>0 [0,25,0,28125].

    Seguindo até b-a<2cdot10^-5 (cerca de 17 iterações), encontramos a raiz.

Resposta

Aproximando com precisão 10^-5,
x approx 0,25748,

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