Seja P(x) um polinômio do terceiro grau com raízes r1, r2 e r3. Sabendo que
P(1 / 2)+P(-1 / 2)P(0)=1000

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que P(x) é um polinômio de grau 3 cujas raízes são r₁, r₂ e r₃, e que
P(1/2) + P(-1/2)P(0) = 1000
O que temos de fazer é descobrir a relação entre as somas e produtos dessas raízes, ou seja
s1 = r1 + r2 + r3 e s3 = r1 r2 r3
Vamos achar .

Passo 2

Primeiro, lembra do formato geral de um polinômio de 3º grau em função das raízes:
P(x) = a,(x - r1)(x - r2)(x - r3) = al(x^3 - s1,x^2 + s2,x - s3r),
onde
s1 = r1 + r2 + r3, s2 = r1r2 + r1r3 + r2r3, s3 = r1r2r3

Passo 3

Vamos calcular P(x) = al(x^3 - s1 x^2 + s2 x - s3r) e P(1/2) = al(tfrac18 - s1cdottfrac14 + s2cdottfrac12 - s3r) usando a forma
P(-1/2) = al(-tfrac18 - s1cdottfrac14 - s2cdottfrac12 - s3r)
Para :
Para :

Passo 4

Agora soma os dois:
P(1/2) + P(-1/2) = al(tfrac18-tfrac18 ;-;s1l(tfrac14+tfrac14r) ;+;s2l(tfrac12-tfrac12r) ;-;(s3+s3)r) = al(-tfracs12 - 2s3r)
E .

Passo 5

Formamos a razão dada:
P(1/2) + P(-1/2)P(0) = al(-tfracs12 - 2s3r)-a,s3 = -tfracs12 - 2s3-s3 = s12s3 + 2
E isso deve ser igual a 1000:
s12s3 + 2 = 1000 ;Longrightarrow; s12s3 = 998 ;Longrightarrow; s1s3 = 1996

Resposta

boxedr1 + r2 + r3r1 r2 r3 = 1996

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