Use o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada para f(x)=e^x-x-2 com precisão varepsilon=10^-2. Use um software matemático para plotar os gráficos.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra achar uma raiz da função
f(x)=e^x - x - 2
usando o método da bisseção com precisão .
Isso envolve:
  1. Entender que, por ser contínua, se e tiverem sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .
  2. Aplicar repetidas divisões do intervalo, cada vez escolhendo o subintervalo que mantém a troca de sinal, até que o tamanho do intervalo seja menor que .

Passo 2

Primeiro, a gente encontra um intervalo f(1)=e^1 - 1 - 2 = e - 3 approx 2,7183 - 3 = -0,2817 < 0 com f(2)=e^2 - 2 - 2 = e^2 - 4 approx 7,3891 - 4 = 3,3891 > 0.
  • Em :
  • Em :
Como e , sabemos que há pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora o método da bisseção:
  1. Calcular o ponto médio m = a + b2
  2. Avaliar .
  3. Se , a raiz está em ; senão (isto é, se ) ela está em .
  4. Repetir até que .

Passo 4

Vamos às iterações até :


  1. ⇒ nova banda:












Agora .

Passo 5

Critério de parada atingido! A gente toma como raiz aproximada o ponto médio final:
x^* = 1,140625 + 1,14843752 = 1,14453125
Esse valor tem erro menor que .

Resposta

A raiz aproximada de boxedx approx 1,1445 pelo método da bisseção (com ) é

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